本文首先研究了如下(R)N上p-Laplace问题,-∈P△Pu+V(x)uP-1=uq-1,u＞0in(R)N,u∈W1,p(RN),其中2≤p＜N,∈＞0和p＜q＜p*=NP/N-P。V是一个满足某种条件的非负函数,∈＞0是一个小的参量。这个问题当P=2是对应于一类非线性Schr(o)dinger方程的驻波解,已经被广泛地研究过,取得了大量的研究结果。我们这里主要考虑2＜P＜N,infRNV(x)=0的情形。为了得到解在某些V(x)=0区域的指数衰减估计,这里引入了一个罚函数Q∈(u)。我们在这里遇到的主要困难:(1)当p≠2时,方程的极限问题所对应的最小能量(用山路引理所得到解的能量)是否孤立的不清楚;(2)不能对p-Laplace方程直接应用比较原理得到指数衰减。我们通过构造一个比较函数满足一个p-Laplace方程,再应用比较原理来得到指数衰减估计。最后我们在infRNV(x)=0情形下,对V(x)给定一些假设条件,得到了当∈＞0充分小时则存在着解集中在V(x)的不相交连通分支集合的附近。我们的结果把[8]的结果部分推广到了P-Laplace方程。　　 本文还讨论了一类带奇性的半线性椭圆方程,这类方程含有临界Sobolev-Hardy指数和临界Sobolev指数{△u+λu(n+2/n-2)=0在Ω中{u=0在(δ)Ω上.　　 其中0∈(δ)Ω,u2*(s)=2(N-S)/N-2是临界Sobolev-Hardy指数。通过对方程作blowup分析,我们得到了一个关于这个方程的全局紧的结果。从这个结果我们能推出当λ满足一定条件时,方程正解的存在性。当0∈(δ)Ω,能量并不是平移不变的,此时的极限情形应该对应的是半空间RN+而不是全空间RN。我们还对次临界Sobolev指数的方程进行了讨论,并且得到了关于临界Sobolev指数的方程正解的存在性。