矩阵方程的求解问题在控制论、结构工程、振动理论、系统参数识别和经济领域等方面有广泛的应用背景.近几十年来，一直受到国内外学者的广泛关注，并取得了一系列重要的成果.这一问题的研究是数值代数研究领域的一个十分活跃的分支.对于大型的矩阵方程（如Sylvester线性矩阵方程，Lyapunov线性矩阵方程，和非线性代数Riccati方程等）的研究，在国际国内已有一定的基础。例如，Erik Elmroth（瑞典），Isak Gustavson（瑞典），Bo Kagstrom（瑞典）和Fred Gustavson（美国）利用矩阵分解和递归方法给出了Sylvester型线性矩阵方程求解的数值方法，并设计出了高效的计算软件包(见SIAM Riew，Vol.26，No.1，2004)，Yousef Saad（美国）对大型稀疏特征值问题进行了深入的研究，并大量地应用于实际之中。P.Lancaster（加拿大）和G.H.Golub（美国）等也分别研究了Lyapunov方程和Sylvester方程的相容性条件，最小二乘解和求解的算法。八十年代以来，国内的张磊，孙继广，胡锡炎和戴华等相继考虑了方程AX=B在约束条件下的解和最小二乘解及矩阵的最佳逼近问题，K.G.Woodgate（美国）和J.C.Allwright(美国)在对称半正定矩阵类上导出了方程AX=B的最小二乘解存在的条件，并给出了数值方法。　　作者利用较多的数值代数知识，如矩阵的分解、广义逆和迭代方法等解决了几大类约束矩阵方程的解的相容性条件，通解表达式，最小二乘解和解的最佳逼近问题，特别地，将解代数方程系统的Krylov子空间方法，如CG，CGNE和CGNR方法应用到求解线性矩阵方程当中，其中包括AX=B，AXB=C，AX+XB=C（Sylvester方程），AX+ XA*=C(Lyapunov方程),AXB+CXD=E,(AX, XB)=(C,D)（左右逆特征值问题）等.为了适应大规模科学计算的需要，将矩阵分解方法和Krylov子空间方法结合起来，在存储量和计算时间上都获得了令人满意的结果。　　报告的主要内容分为五章.第一章列出了通篇所用的基本符号，矩阵的范数和子空间理论，并列举了线性矩阵方程的基本类型及某些背景范例。　　第二章介绍了矩阵分解理论，并利用矩阵分解理论:(1)解决了矩阵方程AX=B的两类反问题;(2)得到了矩阵方程AXB=C的极小范数Hermitian解和skew-Hermitian解;(3)得到了矩阵方程AXAT+BYBT=C的几类约束条件下的解。　　第三章将求解线性代数方程组的共轭梯度法(CG方法)推广到求解对称正定型(SPD)线性矩阵方程AXB=C和AX+XB=C(Sylvester方程)中去。　　第四章将求解线性代数方程组的共轭梯度法方程法(CGNE方法)推广到求解非对称正定型(SPD)线性矩阵方程AXB=C和(AX，XB)=(C，D)（左右逆特征值问题）中去，用迭代方法得到了这两类矩阵方程Hermitian极小范数数值解。　　最后一章将矩阵分解的方法和Krylov子空间方法结合起来，给出了用递归法求大型Sylvester矩阵方程的解和大型矩阵方程AX=B的Hermitian解的思路。