本学术论文的研究内容属于Brunn-Minkowski理论领域,该领域发展迅速并且是一个重要的几何分支.本硕士论文利用几何分析中的凸体理论研究函数不等式与极值问题.本文第三章的主要内容是利用欧式单位球面上的迷向测度来刻画T∈SL(n)下M_p(TK)和M_p°(TK)的最小值问题.同时也得到了M_p(K)M_p°(TK)取得最小值的条件.在对偶L_p-Brunn-Minkowski理论中,我们给出了对偶p-差的定义并且研究了它的一些性质;接着利用对偶Brunn-Minkowski不等式得到了对偶p-差的体积不等式.另外,我们引入了对偶p-平行体的概念;给出了对偶p-平行体的凸性和连续性.为了研究对偶p-平行体的凸性,我们还定义了两个实数的调和p-平均.第五章,我们首先引入了非对称Orlicz差体的概念,系统的研究了它的性质,给出了非对称Orlicz差体与凸体的Minkowski组合之间的关系,最后研究了它的极值.在研究极值过程中,我们用到了L_p-Brunn-Minkowski不等式和Orlicz空间的一些性质.第六章,我们主要研究了欧式单位球面上的Poincaré-型不等式,首先引入了一个自伴算子,然后利用这个自伴算子得到了第一、第二变分公式,最后我们利用这两个公式得到了主要的研究结果.