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本文所做研究属于凸体极值理论范畴。其核心为星体的截面与凸体的投影的极值问题。本文主要探讨了截面与投影的相关不等式的稳定性，运用Fourier变换和Radon变换建立了一些重要的体积比较结果的稳定性。 我们的第一个研究问题是与截面相关的体积比较问题。我们首次提出一种体积商形式的稳定性替代Koldobsky的体积差形式的稳定性。接着通过i-Radon变换与i-截面体之间的关系，运用调和分析方法，证明了广义Funk截面定理的稳定性。这些结果为进一步探讨诸如截面问题等重大问题提供了全新的视野。 随后我们从体积商形式出发建立了广义Busemann-Petty问题的稳定性。并且说明商形式的稳定性与Koldobsky所建立的差形式的Busemann-Petty问题的稳定性之间的关联。 同时我们也研究了Lp-Shephard问题的稳定性。为了包含p=n这一特殊情形，我们实际考虑的是体积单位化的Lp极投影体的稳定性。为了说明这一结果，我们建立了一个全新的体积单位化的Lp极投影体的Fourier变换公式。由此，我们完全解决了对所有可能的实数p的Lp-Shephard问题的稳定性。该种稳定性结果不仅包括经典的奇数p=4k+1，而且也包括了另一奇数分支p=4k-1，尤其涵括了空间维数n为奇数时，p=n的特殊情况。