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加权Lorentz空间和Orlicz-Lorentz空间是Lp空间和经典Lorentz空间Lp,q的重要推广形式,也是重排不变空间的主要表现形式.自从Lorentz空间及Orlicz-Lorentz空间被引进以来,它们一直是调和分析中的重要研究对象.本文主要研究这两空间的分析性质：差分模,连续模,Sobolev嵌入,Riesz收敛性质.它们是Lp空间和经典Lorentz空间Lp,q的分析性质的推广本文共分四章.第一章研究函数关于加权Lorentz空间的偏连续模估计.用Lp（1≤p<q≤∞）的连续模估计Lq的连续模已经有很长的历史了（[6],§16,[11],[21]和[61]）.对于函数f∈Lp（Rn）（1≤p<∞）,记文献[21]给出了下面结果.定理1.1.1设1<p<∞且n≥1,或者p=1且n≥2.假定f∈Lp（Rn）,p<q<∞,且γ三n（1/p-1/q）<1.那么对任意的δ>0通过不等式（0.1）我们能够得到如果f具有所有的一阶广义导数Djf∈LP（Rn）（j＝1,…,n）,那么当p>1且n≥1时,此不等式在[6]中得到证明,当p=1且n≥2时不等式（0.2）在[21]中得到证明（也可参阅[22]和[51]）.假定函数f只有关于xj一个变量的偏导数Djf∈Lp（Rn）,那么问题就变成估计下面的偏连续模其中q>p.在这种情况下,通常需要假定f属于某个Lr.在[23]中,利用这些条件作者得到了Gagliardo-Nirenberg型乘积型不等式.同样在[23]中一个更一般的问题,即,f关于xj的偏Lq连续模用f关于xj的偏Lp连续模及f的Lr的范数估计的问题,得到解决.同时作者研究了在Lorentz空间Lq,p背景下连续模的乘积型不等式（看[23],定理3.1,3.5,4.1及4.3）.在许多情形下,Lorentz空间Lq,p需要用更一般的加权Lorentz空间（?） q,p（w）来代替,其中w是R+的权（在R+上的非负局部可积函数）.因此我们有理由去问关于偏连续模ωjr（f；δ）Λq,p（ω）上述相似的不等式是否仍然成立.在本章中,我们将研究此类问题并得到肯定的回答.本章的主要结果是：定理1.3.1设（p0,s0）和（p1,s1）是可允许的对,0<θ<1且数p,s,p由（1.3.1）表示.设当p<∞时w∈Bp,当p=∞时W∈Δ2.假定函数f∈Λp0,s0（w）具有关于某个变量xj（1≤j≤n,n,j∈N）的广义导数Djrf∈Λp1,s1（ω）.那么（当s=∞时作明显的修改）,其中定理1.3.3设（p0,s0）和（p1,s1）是可允许的对,p1>1.且0<θ<1,p=min（p0,p1）,数p和s由（1.3.1）定义.假定w由下式给出：且f∈Λp0,s0（w）∩Λp1,s1（w）.设r∈N且1≤j≤n.那么对于任意的δ>0,有且对于任意的0<α<r,有如果s=∞作明显的修正),其中K’=2Kθ1/s.第二章研究加权Lorentz空间及重排不变空间的Sobolev嵌入.设1≤p<∞,r∈N.我们用Wpr表示由具如下性质的函数所组成的各向同性Sobolev空间：f∈Lp（Rn）且f具有广义导数Dsf（s=（s1,,sn））∈Lp（Rn）,其中我们已经知道对于任意的1≤p<n/r且q*=np/（n-rp）,有WpT（?）Lq*（Rn）（看[6,56]）.这种嵌入已经在各个方向得以推广和发展（具体内容看[24,27,43,48,49,59,60]及其参考文献）.我们记满足下列性质的函数所组成的各向异性空间为Wp,sr1,,Tn（1≤p<∞,0<s<∞,r1,rn∈N）:f∈Lp,s且设r=n（∑in=1ri-1）-1.在[22]中,V.I.Kolyada得到：如果1<p<n/r,q*= np/（n-rp）,那么其自然意味着并且,在同一文中证明了如果p<q<∞且1/p-1/q<r/n,对于那么对于任意实数θ>0,有设w是R+上的一个权.用符号WΛp,s（ω）γ1,,γn（1≤p<∞,0<s<∞,γ1,,γn∈N）来记满足下列条件的函数f所组成的空间：f∈AP,s（w）且f具有广义导数Diγif∈Λp,s（ω）.此时令如果一个函数f定义在Rn上,κ∈N,ei是一个坐标单位向量,那么我们设其中x∈Rn,h∈R.设1≤p,q<∞,1≤s<∞,α1,…,αn是正数且w是R+的权.假定κi>αi,κi∈N.类似于上述的表示方法,把具有如下性质的函数f所构成的空间记为Besov空间BΛq,p（ω）,sα1,,αn:f∈Λq,p（ω）且我们指出BΛq,p（ω）,sα1,,αn不依赖于κi>αi（看[6],[31]）的选择.在这一章中,定理2.3.1证明了如果ω满足一些特殊条件,且1/q*=1/p-r/n,那么如果1≤p<n/r,0<s<∞我们得到且如果1≤p<q<q*,0<s<∞,那么对于任意的qs/q*<θ<∞,有如果在其中令p>1,w=1,那么θ的范围可以扩展到0<θ<∞,由此上面的嵌入就是[22]中的结论.另一个结论,定理2.3.4,用加权Lorentz空间Ap,q（w）代替Lorentz空间Lp,q推广了[22]中定理4,其中w满足一些较好的条件,由此可知其中1<p<q<∞,1/p-1/g<γ/n,γ=n（∑i=1nγi-1）-1,且另一方面,我们认为如果能将（*）推广到重排不变空间将是很有意义的.事实上,已经有很多数学家,如,Bastero, Milman, Ruiz, Martin, Pustylnik,他们已经研究相似的问题且得到一些重要的结果.读者可以参阅他们的文章：[7,34,35,36,37,38,39,47].我们得到的第一个结论是定理2.3.5,它可以看成是[39]中定理2.1.2和推论2.1.3的拓展.第二个结论是定理2.3.7,它可以看成是在重排不变空间背景下[22]中定理3的推广这一章的主要结果是：定理2.3.1设1≤p<∞,0<s<∞,且w是R+上的一个权.假设1/q*=1/p-r/n,w满足下面的条件:（ⅰ）w∈Bp,（ⅱ）存在常数a>0使得W（t）≥at,（?）t>0,（ⅲ）存在常数β<1使得那么对于任意的f∈WΛp,s（ω）T1,,rn,如果p<n/r,就有如果p<q<q*,qs/q*<θ<∞,就有定理2.3.4设r1,,rn∈N,1<p<q<∞,1/p-1/q<r/n,如果w满足条件定理2.3.中的条件（ⅰ）,（ⅱ）且存在常数β<1使得那么对于任意的f∈WΛP（ω）T1,,Tn,下面的不等式成立其中C是一个不依赖于f的常数.定理2.3.5设X是个rr.i.空间,（?）X>r/n,且αx<1.那么对于任意的f∈WXr1,,rn,成立定理2.3.7设βX>0,βx<1.假设f∈WXt1,,Tn.如果E≠（?）,其中那么对于任意的α∈E,成立其中C不依赖于f.第三章给出了函数关于加权Lorentz空间的差分模估计.这一章研究Rn上具有广义导数的函数f.目的是得到差分的模估计（ek是单位坐标向量）.Sobolev空间的差分模的精确估计首先由V.P.Il’in（看[6],Vol.2,pp.72）发现.对于空间Wp1（Rn）（1≤p<n）Il’in的结果如下：如果n∈N,1<p<q<∞且α三1-n（1/p-1/q）>0,那么不等式（0.3）推广到空间Wpr1,,rn的情形在[22]中给出.那是其中0<1/p-1/q<r/n,r=n（∑i=1nri-1）-1,且αk=rk[1-r/n（1/p-1/q）]；不等式对于p>1,n≥1或p=1,n≥2也成立.在[28]中,当Dκτκf属于Lorentz空间Lpk,sk时（0.4）的精确估计得以给出：定理3.1.1设n≥2,rk∈N,1≤ρk,Sk<∞且如果pk=1则sk=1.设r,p和s由（3.1.7）,（3.1.8）给出.对于满足条件的pj（1≤j≤n）,取qj>pj使得而那么对于任意具有弱导数Dkrkf∈LPk,sk（Rn）（k=1,,n）的函数f∈S0（Rn）成立不等式其中C是不依赖于f的常数.这一章的主要结果是：定理3.3.1设n≥2,rk∈N,1<pk<∞,1≤sk<∞（k=1,,n）.令r,p及s是如（3.2.15）和（3.2.16）定义的数.假定在R+的权w满足下列条件（ⅰ）非增连续且（?）ω（t）=a,a>0；（ⅱ）存在两常数η,β<1使得且q三sup{η;（?）β<1,（0.5）成立}>max{pi;i=1,,n}.对于满足条件的pj（1≤j≤n）,取满足pj<qj<q和的qj.令那么对于任意的具有弱导数的函数f∈S0（Rn）,成立不等式其中C是不依赖于f的常数.第四章研究Lorentz空间及Orlicz-Lorentz空间具有Riesz收敛性质的充分条件和必要条件.Oricz-Lorentz空间是Lorentz空间和Orlicz空间的推广.它已经被很多数学家研究过.如果要求其为Banach空间,读者可以查看,如,[10,17,18,19,20,30,32].如果仅要求拟-Banach空间,则可以查阅[26]和[33]这一章在加权空间ΛX p,q（ω）的基础上定义了Orlicz-Lorentz空间（它比[30]和[33]中的定义要广一些）及其上的模（modular）.定义4.1.2设0<p,q≤∞,（X,μ）是一个测度空间,w是R+上的一个权,且G是一个φ-函数,那么对于每一个可测函数f我们定义Luxemburg函数如下：由此我们定义Orlicz-Lorentz空间为Λω,Gp,q（X）={f是X上的可测函数：定义4.1.4对于Orlicz-Lorentz空间Λω,G p,q（X）,其中W∈Δ2（X）且G是迟缓的（dilatory）,我们如下定义Λω,G p,q（X）,)上的模,ρω,G p,q:同时我们给出了如下定义：定义4.1.6对于Orlicz-Lorentz空间Λω,G p,q（X）,其中W∈Δ2（X）且G是迟缓的,我们说它具有Riesz收敛性质是指如果f,f1,f2…∈Λω,G p,q（X）满足fn→f几乎处处在X上且当n→∞时ρω,G p,q（fn）→Pw,G p,q（f）,那么当n→∞时成立经典的结果是Riesz收敛性质对于Lp（0<p<∞）空间是正确的（看[52,53]）.进一步,它同样适用于LΦ空间,只要Φ∈Δ2（看[54],定理4.4.12）.近来H.H.Bang和N.M.Cong[5]证明了它对于Lp,q（0<p,q<∞）也是正确的.这一章的主要结果是：定理4.2.1设（X,μ）是一个测度空间.假定w是R+上的一个权且W∈Δ2（X）.设0<p,q≤∞.如果加权Lorentz空间ΛX p,q（w）具有Riesz收敛性质那么它一定具有绝对连续模.进一步,如果0<p,q<∞,且μ（X）=∞,那么w（?）L1.定理4.2.2设（X,μ）是一个测度空间,0<p,q<∞.且w是R+上的一个权.假定W∈Δ2（X）.那么（ⅰ）若μ（X）<∞,则ΛX p,q（w）)具有Riesz收敛性质;（ⅱ）砂若μ（X）=∞,如果w满足条件那么ΛX p,q（w）具有Riesz收敛性质.定理4.2.5如果X是一个共鸣测度空间,0<p<∞,且W∈Δ2（X）,那么Λω,G p,q(X具有Riesz收敛性质当且仅当X是有限个原子组成.定理4.3.2设0<p,q<∞且w是在R+上的权.假定W∈Δ2（X）,G∈Δ2,且G是迟缓的.那么（ⅰ）当μ（X）<∞时,Λω,G p,q（X）具有绝对连续模.（ⅱ）当μ（X）=∞时,那么Λω,G p,q（X）具有绝对连续模当且仅当w（?）L1.定理4.3.3设p, q, w, G如定理4.3.2一样给出.那么Orlicz-Lorentz空间Λω,G p,q（X）具有Riesz收敛性质意味着它具有绝对连续模.并且,如果μ（X）=∞,那么w（?）L1.定理4.3.4设p,q,w,G与定理4.3.3中一样.那么（ⅰ）当μ（X）<∞时,Λω,G p,q（X）具有Riesz收敛性质;（ⅱ）砂当μ（X）=∞时,如果w满足那么Λω,G p,q（X）具有Riesz收敛性质.定理4.3.6设X是共鸣测度空间.假定0<p<∞,W∈Δ2（X）,G是迟缓的,那么Λω,G p,∞（X）具有Riesz收敛性质当且仅当X是由有限个原子构成.