本论文一共分为五章．第一章是引言部分．在这一章里面，我们首先简要回顾了分形几何的发展历程以及研究现状．随后介绍了Cantor展开以及量子理论的发展过程和研究现状．接着陈述了本文所做的主要研究成果．在第二章中，我们简单介绍了本文所涉及到的一些预备知识．我们首先介绍了测度的相关概念与性质，以便深入研究分形几何．接着讨论了Hausdorff测度和维数以及盒维数的概念和相关性质．然后对最重要的分形对象自相似集进行了介绍并给出了维数结果．同时，还介绍了自相似测度的性质．之后，陈述了一维齐次Moran集的维数结果．最后，介绍了量子理论的基本概念并且与Hausdorff维数，盒维数进行了比较．后三章是本文的主要部分．在第三章中，我们考虑了一类与Cantor展开有关的Lebesgue零测集的维数问题．在计算集合维数的时候，主要考虑巧妙地构造所求集合的齐次Moran子集，然后应用有关一维齐次Moran集的维数的已有结论，求出了所构造的子集的维数是1．进而得到所求集合的维数为1．在第四章中，我们考虑了量子理论有关点密度测度的问题．这个方面已有结论是关于Lebesgue测度绝对连续的测度的点密度测度以及满足开集条件的自相似测度的点密度测度．本章确定了一类关于自相似测度绝对连续的测度的点密度测度．设{f1，…，fN}是一族压缩比为（c1，…，cN）的相似压缩族，测度μs是由{f1，…，fN}和概率向量为（cis，…，cNs）确定的自相似测度．在强分离条件下，对任一关于μs绝对连续的概率测度v，我们确定了v的点密度测度．最后一章里面，我们研究了量子理论中有关几何均差的量子维数．将Rd上满足强分离条件的自相似测度关于几何均差的量子维数的结果推广到R上的由有限个共形迭代函数系生成的F-共形测度．设F=｛f1，…，fN｝为R上的一族强H（o|¨）lder连续函数族，｛φ1，…，φN｝为一族共形迭代函数系．我们确定了F-共形测度关于几何均差的（0阶）上（下）量子维数．