随着科学技术的发展,四元数矩阵在诸如航天姿态控制、信号压缩感知、密码设计等领域的应用日益广泛.由此产生各类约束矩阵方程问题,它也是当今计算数学领域中最活跃、最热门的研究课题之一.约束矩阵方程问题是指在满足一定条件的矩阵集合中求矩阵方程的解,不同的约束条件与不同的矩阵方程类型都会产生新的约束方程问题.本文主要目的是在四元数体上讨论Sylvester方程AX-XB=C及更一般化的矩阵方程AXB+CXD=E,研究它们在箭形矩阵、Toeplitz矩阵、共轭辛矩阵、M自共轭矩阵、共轭延拓矩阵等几类结构矩阵空间上约束解的存在性及最佳逼近问题.全文内容概述如下:第一章简要介绍约束矩阵问题的研究背景、现状及发展趋势,指出本文深入讨论的主要内容.作为预备知识,给出有关复矩阵和四元数矩阵的运算性质及引理.第二章在四元数体上讨论Sylvester方程AX-XB=C具有箭形矩阵和Toeplitz矩阵约束解的存在性及最佳逼近问题.利用四元数矩阵的实分解和箭形矩阵、Toeplitz矩阵的特征结构,借助Kronecker积把约束四元数矩阵方程转化为实域上无约束方程,从而得到该方程具有这两种解的充要条件及其通解表达式.同时在相应的解集中获得与预先给定的四元数矩阵有极小Frobenius范数的最佳逼近解.第三章在四元数体上给出方程AXB+CXD=E具有共轭(自共轭)辛矩阵解、M自共轭矩阵解的充要条件及其解的表达式,并用数值算例检验所给方法的正确与可行性.第四章在四元数体上讨论方程AXB+CXD=E的共轭延拓解.利用四元数矩阵的复与实分解,以及共轭延拓矩阵的结构特点,把四元数约束方程问题转化为实域上无约束方程问题,从而得到该方程具有行(列)共轭延拓解的充要条件及其通解表达式.第五章总结主要研究结果,并指出未来的研究设想.