在过去的几十年里,大量的学者对非线性薛定谔方程解的存在性及多解性问题进行了研究,而对非线性项所提的限制性条件变得越来越弱。然而对于带有零谱点的薛定谔方程解的存在性问题的研究却仅有寥寥几篇。对于该问题研究是很复杂的,因为此时能量泛函有定义的工作空间已不再是通常的H1(RN),而仅仅是一个Banach空间。虽然在较强的假设性条件下,解的存在性问题已经被研究过,但进一步我们还要问,如果没有严格单调性条件,能否得到Nehari—Pankov型基态解的存在性？对非线性项所提的限制性条件能否进一步放宽？在本文中,我们给出了一个肯定的回答。本文首先研究了带有零谱点的薛定谔方程的基态解问题。当非线性项是超线性时,我们给出了一个更直接、简便的方法,并且得到了该问题的一个Nehari—Pankov型基态解；当非线性项是渐近线性时,在较宽松的条件下,我们也证明了极小能量解以及Nehari—Pankov型基态解的存在性。据我们所知,这是对该问题的第一个研究结果。在本文的最后一章,我们还考虑了一类位势和周期均可变号的薛定谔方程的多解性问题,在更一般的假设条件下,我们得到了无穷多对解的存在性。