在边界元方法和其它一些科学工程计算方法中，经常会出现超奇异积分，而由于这类积分超奇异核的特殊性质，经典的求积公式不再适用，于是，如何构造高效的数值积分公式便成为了一个很有意义的课题。近年来，高斯公式、牛顿-科茨公式、S变换方法等数值求积方法在超奇异积分计算中获得了广泛的应用，这些方法各有所长，也各有所短。例如高斯公式和s型变换方法在密度函数充分光滑时非常有效，但不适合正则性较低的情况，并且它们对网格的选择也比较严格。而复化牛顿-科茨公式则恰好相反，它对密度函数的正则性要求较低，对网格的选取也相对比较自由，再加上其数值实现的易操作性，近年来日益受到人们的重视。　　 本论文的主要工作是研究两类超奇异积分的复化牛顿-科茨公式及其超收敛现象。在第一部分工作中，着重讨论了三阶超奇异积分的复化辛普森公式。在导出具体的求积公式后，给出了相应的超收敛结果。超收敛结果表明，在远离区间两端点的子区间上，当奇异点选取为某些特定点时，其计算精度要比一般情况高出一阶，这就是所谓的“超收敛现象”。然后给出了详细的超收敛分析，并且证明了超收敛点的存在性。基于超收敛结果，提出了几种实用的数值求积算法，以避免网格的选取困难。此外，还将超收敛结果应用到了超奇异积分方程的数值求解中，得到了比一般情况更好的数值结果，最后给出了一些数值算例，验证了理论分析的正确性。　　 在第二部分工作中，主要研究了圆周上超奇异积分的任意阶复化牛顿。科茨公式以及相应的超收敛现象。与区间上超奇异积分不同，这里的超收敛现象出现在每个子区间上。此外，由超收敛分析可以知道，超收敛点的局部坐标实际上是某类函数的零点，而由于这类函数恰好是一些Clausen函数的组合形式，亦即一些三角函数的组合形式，可以很容易地证明这些函数零点的存在性，从而确保超收敛点的存在性。更为重要地，找到了圆周上超奇异积分和区间上二阶超奇异积分的一些内在联系，为更好地理解这类积分提供了理论依据。在所有的复化牛顿-科茨公式中，梯形公式是最简单也最容易的。特别地，对于圆周上超奇异积分而言，梯形公式的科茨系数是唯一能解析地给出的。这里针对梯形公式及其超收敛结果做了一些推广，提出了一些实用的求积算法，并将其应用到了一个实际问题中。最后给出了一些算例，相应的结果与理论证明相吻合。