【摘 要】
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本文研究了无穷维Hilbert空间H2()H2上2×2上三角算子矩阵MC=(AC0B)的谱问题,其中A∈B(H1),B∈B(H2),C∈B(H2,H1),且B(X,Y)是由X到Y的所有有界线性算子构成的集合,当Y=X时简
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本文研究了无穷维Hilbert空间H2()H2上2×2上三角算子矩阵MC=(AC0B)的谱问题,其中A∈B(H1),B∈B(H2),C∈B(H2,H1),且B(X,Y)是由X到Y的所有有界线性算子构成的集合,当Y=X时简记为B(X).
首先,我们借助对角元A和B的谱性质给出了“σ(MC)=σ(A)∪σ(B)对任意C∈B(H2,H1)均成立”的充要条件；进一步给出了点谱、剩余谱、点剩余谱及连续谱情形相应等式成立的充要条件.特别地,我们发现剩余谱的包含关系σr(MC)()σr(A)∪σr(B)一般未必成立.
其次,在给定A∈B(H1),B∈B(H2)时,研究了2×2上三角算子矩阵MC=(AC0B)的点剩余谱扰动,给出了其固有点剩余谱及可能点剩余谱的刻画；进一步讨论了固有点剩余谱与固有点谱和固有剩余谱的并集之间的关系.
最后,基于杜鸿科教授在文[9]中提出的公开问题3,给出了就1-类点谱、1-类剩余谱及连续谱而言,存在算子C0=0(∈B(H2,H1)),使得2×2上三角算子矩阵的固有1-类点谱、固有1-类剩余谱及固有连续谱恰为M0的相应谱的结论,且因此说明“σ*(M0)=σ*(A)∪σ*(B)”并不总是成立的,其中*代表某类特定的谱.
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