在现实中传染病是普遍存在的。从上个世纪的二十年代开始人们就试图利用数学模型来研究传染病的发展规律，以此为制定预防和治疗传染病提供理论依据。然而，传染病模型能预见和控制疾病的能力主要取决于模型的参数。为了进一步研究疾病传播的病理，过去的二十年来主要集中在模型的设计和分析上。然而，通过在模型中添加时滞使得模型更具有现实意义。对于传染病模型的研究，人们感兴趣的是模型中的参数满足什么条件时，传染病最终流行或者灭绝，或者变成地方病。很多模型使用常微分方程，微分方程作为数学模型来刻画不同的传染病传播规律。第二章中，研究了具有Logistic增长且带有时滞和空间扩散的SIR模型，并给出了发生Hopf和Turing分支的临界参数条件。进一步，分析了边界平衡点和正平衡点的稳定性，即给出了疾病是否流行的条件。通过理论推导，我们得出当模型具有时滞和空间扩散时，就会出现时间和空间上的周期解。第三章中，考虑了一类具有扩散的SI传染病模型。通过分析得出，各个参数对模型的平衡点稳定性的影响。进一步，通过色散关系公式，讨论了波长的变化以及产生空间斑图的条件。这些结果对我们理解时空传染病的传播机制十分有用，对传染病的预防具有深远的意义。第四章中，研究了具有扩散和双线性发生率传染病模型，通过数学分析和证明，得出了模型出现斑图的临界条件。进一步，利用图灵线性理论，讨论了图灵不稳定性以及产生斑图的条件，并分析了空间模型的平衡点稳定性。这些结果说明了利用反应扩散方程建模是研究空间动力学复杂性机制的有效工具。