非线性科学是20世纪开启并发展起来的最为重大的研究课题之一,现已成为众多基础研究与工程应用研究中的共性科学问题。虽然目前在诸多领域已定量揭示出大量非线性系统所具有的新现象和独有特征。但现有的众多非线性定量分析方法大部分只能直接用于研究弱非线性问题。而对于强非线性问题,这些方法均需根据单一问题的特性辅以特别的技巧才能适用,因而缺乏普适性。虽然结合数值追踪技术后具有一定普适性,但其累计误差会导致解失真,尤其是对于初值敏感的非线性系统这一问题将尤为突出。因此,针对非线性问题尤其是强非线性问题的定量分析技术已成为当前非线性科学研究中的棘手问题。本博士学位论文针对这一问题,在本研究小组原有求解非线性问题的基本小波算法之上,将强弱非线性问题的求解统一起来,形成一套可统一求解一般强弱非线性问题的普适方法。并通过理论推导和数值分析研究了这一方法的求解精度和收敛速度等特性,给出了应用力学和物理领域中若干强弱非线性问题的高精度定量结果。首先,本文从理论上严格推导分析了逼近定义在有限区域上任意平方可积函数及其导数和积分的广义正交Coiflet小波格式的误差,并辅以一系列数值算例验证了上述误差分析的准确性。在此基础上,进一步分析了本文所介绍的小波普适方法在离散非线性边值问题的过程中所产生的误差,并详细讨论了这一小波解法的封闭性特征。随后,我们运用可求解一般形式的一维和多维非线性边值问题的小波统一方法分别研究了一维和二维Bratu方程。通过与问题的精确解比较发现,无论是对于弱非线性情形还是强非线性情形,当前小波封闭解法在分辨率水平取6时,所得近似解的最大相对误差均小于10-8,而求解一维和二维Bratu问题的收敛速度分别约为4阶和2.5阶,明显优于多种现有数值方法,并且当前小波封闭算法还可以有效的处理具有多解支的强非线性问题。继而,我们基于同一求解程序给出了无法获得精确解的经典二维Bratu方程的高精度近似解。进一步,我们构造了一系列一维非线性边值问题来研究当前小波统一算法在分别求解高低阶微分方程以及拟线性和完全非线性问题时的精度和收敛速度。通过与问题的精确解比较发现,针对一阶和二阶微分方程,当前小波算法在分辨率水平取6时所得近似解的最大相对误差可达10-8,收敛速度为5阶。而同一分辨率水平下求解三阶和四阶微分方程时的最大相对误差约为10-4,收敛速度约为3阶。针对二阶完全非线性问题,无论是对于弱非线性情形还是强非线性情形,在分辨率水平为6时,当前小波近似解的最大相对误差均可达10-7,收敛速度约为6阶。此外,我们还运用当前小波统一方法定量研究了悬臂梁和简支梁的大挠度弯曲问题。通过与这些问题的精确解比较发现,在取15个计算节点的情形下,当挠度逐渐增大到梁长度的一半时,悬臂梁和简支梁弯曲问题的小波近似解的最大相对误差分别约为10-6和10-4。而同一条件下,有限元单元法所得近似解的最大相对误差只能达到10-2这一量级。对于非线性初边值问题,通过运用上述求解边值问题的小波算法在空间上进行离散,继而采用龙格库塔法求解所得常微分方程组,我们给出了求解一般形式的非线性初边值问题的统一求解格式。通过求解Burgers问题并与其精确解比较发现,在划分16个空间网格和雷诺数为200的情形下,当前小波算法所得近似解的最大相对误差可达10-9,空间收敛速度约为5阶,明显优于其他现有多种数值方法,并且当前的小波解法对于雷诺数高达107的Burgers问题依然适用。进一步,我们运用此小波统一求解格式定量研究了简支梁的非线性振动。通过求解一具有精确解且振幅为梁长度一半的强非线性强迫振动问题,我们发现在取15个空间节点时,当前小波近似解的最大相对误差约为万分之一。继而,我们运用同一求解程序直接仿真了梁的非线性自由振动,给出了振幅不大于梁长度一半时,其特征频率与振幅的关系。结果表明特征频率随着振幅的增大而增高,并且存在一个约为梁长度四分之一的临界振幅,在振幅分别小于和大于该临界值时,频率的增高速率随着振幅的增大分别增大和减小。最后,我们结合正交各向异性壳模型和经典蠕虫链模型,给出了管状聚合物长度和模态依赖的等效持续长度封闭形式的表达式,该理论预测值与大量实验数据高度一致。同时,基于此长度和模态依赖的持续长度,建立了研究管状聚合物统计力学性质的微结构化蠕虫链模型。进一步,通过具体研究微管这一典型管状聚合物的力学性质,并运用前述小波封闭算法定量研究由微管构成的细胞有丝分裂纺锤体。我们发现相对于经典聚合物微管能够更好的维持纺锤体的形态,以及捕获和定位细胞器。