一、给出Andrews-Askey积分公式的推广。研究了这个推广积分公式在基本超几何级数领域的应用。第一,利用Andrews-Askey积分的推广公式给出了q-Pfaff-Saalschütz公式的推广。第二,展示Andrews-Askey积分的推广公式在u(n+1)q-级数领域的应用,给出了U(n+1)二项式定理等的推广。第三,获得了一些新的q-级数恒等式。 二、利用Andrews-Askey积分定义了一个概率分布W(x;q)。发现了Al-Salam-Carlitz多项式的q-积分表示,并由此得到了概率分布W(x;q)的一些期望公式。在此基础上研究了这个概率分布在q-级数领域的许多应用。第一,通过构造随机变量序列给出了著名的q-二项式定理和q-Gauss定理的概率证明。第二,利用概率方法和Al-Salam-Carlitz多项式给出TRogers-Ramanujan恒等式的一个推广。第三,借助分布W(x;q)、Lebesgue控制收敛定理和解析恒等原理推广了q-二项式定理、q-Gauss定理、Sears’3φ2变换公式、Carlitz求和公式、Jackson变换公式、q-Karlsson-Minton公式等。 三、讨论了q-积分的收敛性判定问题。第一,得到了一些关于基本超几何级数r+1φr、rφr和rψr的不等式。第二,利用这些q-不等式给出了几个关于下列形式q-积分的收敛性判定定理：∫stza·r+1φr dqz形、∫stza·rφr dqz和∫stza·rψr dqz形。