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平面可积系统对应的Abel积分的构造及其零点个数的研究具有深刻的理论意义和广泛的应用背景.这方面的研究与弱Hilbert第16问题紧密相关.本文利用常微分方程定性理论和分支理论的方法,研究当2(a20-a02)a10a01-a11(a20-a012)=0时,系统的 Abel 积分的零点个数.其中 f(x,y)=[a20x2 + a11xy + a02y2 +a10x+ a01y +a00]kk,a00 ≠ 0,p(x,y),g(x,y)为关于x,y的次数不超过n的实多项式.本文的主要内容概括如下:第一章介绍了本课题的研究背景、研究进展以及本文的主要研究结果.第二章首先通过坐标变换,将研究的系统标准化为其中 f(x,y)=(y2 +(A + 1)x2 + Bx + C)k,C ≠ 0,p(x,y),q(x,y)为关于x,y的次数不超过n的实多项式.然后给出了标准化系统对应的Abel积分,并在本章末介绍了本文的一些常用符号.第三章主要研究非退化的情形,即A · B ≠ 0时,Abel积分零点个数的上界.本章对n + 1分奇偶两种情况,首先将Abel积分转化为两类积分:一类是可以直接计算出来的积分,即I0*和I1*;另一类虽然不可以直接计算,但是可以将其转化为I0*和I1*对参变量C的各阶偏导,进而得到了命题3.3和命题3.9.为了计算Abel积分,本文利用数学归纳法得到了I0*和I1*对参变量C的各阶偏导,并代入到Abel积分中,通过移项,平方的方法去掉分母和根号,将Abel积分变为一个多项式,进而利用代数学基本定理估计Abel积分的零点个数.本章的研究方法为第四章的研究提供了思路,也为解决复杂的可积系统的Abel积分零点个数的上界问题提供了一种途径.第四章研究退化的情形,即A·= 0时,Abel积分零点个数的上界.A·B = 0分为三种情况:A ≠ 0,B = 0;A = 0,B ≠ 0;A = 0,B = 0,对于前两种情形,本文沿用第三章的研究方法,将Abel积分转化为两类积分:I0以及I0对参变量C的各阶偏导,分别得到了命题4.2和命题4.5、命题4.8.然后利用数学归纳法计算I0对参变量C的各阶偏导,只是当A = 0,B ≠ 0时,计算I0要分为B2-4C ≠ 0和B2-4C = 0两种情况,然后将其变为一个多项式,再利用代数学基本定理估计Abel积分的零点个数;对于A = 0,B = 0的情形,可以直接计算Abel积分,估计零点个数.对于标准化系统,本文记H(n)为围绕原点的周期环域分叉出的极限环个数,则(ⅰ)若A· B ≠ 0,则H(n)≤ 2n + 8k-5;(ⅱ)若 A ≠ 0,B = 0,则(?)(?)(?)(ⅲ)若 A = 0,B ≠ 0,且 B2-4C ≠ 0,则(?)(?)(?)(ⅳ)若 A = 0,B ≠ 0,且 B2-4C = 0,则H(n)≤ n;(ⅴ)若 A = 0,B = 0,则 HH(n)≤[(n-1)/2].