【摘 要】
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本文主要讨论了数的Lüroth展式和N-连分数展式中的若干分形问题。我们首先关注数的Lüroth展式中连续数字乘积的增长性质。其次,我们考虑了数的N-连分数展式中部分商的度量理论。此外,我们还得到了实数幂的小数部分分布的度量结果。全文共分为六章,其中前两章分别介绍了我们所研究问题的相关背景和基础知识,接下来的三章则对上述内容进行了具体的讨论。在第三章中,我们关注数的Lüroth展式中连续数字乘积关
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本文主要讨论了数的Lüroth展式和N-连分数展式中的若干分形问题。我们首先关注数的Lüroth展式中连续数字乘积的增长性质。其次,我们考虑了数的N-连分数展式中部分商的度量理论。此外,我们还得到了实数幂的小数部分分布的度量结果。全文共分为六章,其中前两章分别介绍了我们所研究问题的相关背景和基础知识,接下来的三章则对上述内容进行了具体的讨论。在第三章中,我们关注数的Lüroth展式中连续数字乘积关于其收敛因子分母的增长性质。对x ∈（0,1],设[d1（x）,d2（x）,…]L为其Lüroth展式并且序列（Pn（x）/Qn（x））n≥1为x的Lüroth展式的收敛因子,其中dn（x）为x的Lüroth展式的数字。对给定自然数m,我们给出了集合（?）和集合（?）的 Hausdorff 维数。在第四章中,我们考虑了数的N-连分数展式中部分商的度量理论。对任意给定的正整数N∈N,每一个x∈[0,1）都可以展开为N-连分数的形式,记为x=[a1（x）,a2（x）,…]N,其中an（x）为x的iN-连分数展式的部分商。设φ:N→R+,我们确定了关于集合{x∈[0,1):an（x）≥φ（n）对无穷多个 n ∈ N 成立}的 Borel-Bernstein 定理和 Hausdorff 维数。在第五章中,我们从度量观点考虑实数幂的小数部分的丢番图逼近性质。设y=（yn）n≥1为[0,1]区间中的任意实数序列,ψ:N →R+为非增函数,满足ψ（n）→0当n→∞。我们证明了集合E（ψ,y）={x＞1:‖xn-yn‖＜ψ（n）对无穷多个n∈N成立}的 Hausdorff 维数根据 liminfn→∞-logψ（n）/n=+∞ 与否存在 0-1 律。在最后一章中,我们总结了本文的主要结果并且提出了可进一步研究的问题。
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