在解析数论中,研究等分布理论,L-函数的零点分布等问题,必然会涉及到非线性指数函数在数论函数中的振荡问题.令an是数论函数,我们通常考虑如下形式的非线性指数和,(?),0≠α∈R,0≤β≤1.这里,n～X 表示X≤n≤2X,且 e(z)=e2πiz.Iwaniec,Luo 和 Sarnak[2]研究了当an=A(n),an=μ(n)(μ为莫比乌斯函数)时的情形,他们发现这些指数和与GL2上的L-函数密切相关.假设f是上半平面权为偶数的全纯尖形式,他们还证明了S(X,α)的一个很好的上界,这意味着L(s,F)的拟黎曼猜想成立[2].Ren和Ye[3],Sun和Wu[4]研究了当β是变量,an是自守形式的傅里叶系数的情形,并证明了只有当β=1/2以及丨α丨接近(?),k∈Z+时,才会发生共振现象.设r(n)为把正整数n表示成两个整数的平方和的表法个数,即n=x12+x22,其中x1,x2是整数.Sun和Wu[4]也研究了当an=r(n)的情况并得到了共振现象.Yan[5]研究了算术级数中的Maass尖形式的傅里叶系数与指数函数的振荡问题,得到了渐近公式(?),0≠α∈R,0 ≤β≤1.本文我们研究非线性指数和其中 0≠α∈R,0<β≤1,e(x)=e2πix,n～X表示X1是一个大的参数.1≤l≤q是整数且满足(l,q)=1.我们考虑q→∞以及X→∞的情况,得到了和Sun,Wu[4]类似的结果.本文主要证明了以下几个结论.当丨α丨βqXβ取值较小时,我们可以看到S(x)的一个上界估计.定理1.1.假设X>1,α∈R且不为0,0<β<1.l,q ∈ N且满足l≤q≤X1/2,δ,D的含义在引理2.1中.当(?)时,我们有当丨α丨βqXβ取值较大时,情况会有所不同.首先,当β≠1/2时,我们仍然可得到S(x)的一个上界.定理1.2.在定理1.1的条件下,当(?)且β≠1/2时,我们有其次,当β=1/2时,我们根据丨α丨的不同取值进行分类讨论.当丨α丨取值较大或者较小时,我们能得到S(x)的上界估计.当丨α丨取值适中时,我们能得到S(x)的一个渐近公式.定理1.3.在定理1.1的条件下,当(?)且β=1/2时,对于(?)或者丨α丨<1/q,我们有对于(?),我们有这里其中δ=1或0取决于是否存在一个正整数nc,其中c丨q且满足特别地,当(?)时,我们能看到共振现象的发生.定理1.4.在定理1.1的条件下,当(?)时,其中1≤k≤DX/4δ,我们有(?)为了证明定理1,我们将遵循[3],[4]和[5]的方法.此处我们用的是Hu,Jiang和Lv[6]推广的Voronoi求和公式,由此我们能得到Kloosterman和,应用Weil上界得到q的节余,从而得到和[5]类似的主项.此外,我们可以看到r(n)也会出现共振现象,就像自守形式的傅里叶系数一样.