平面点集几何性质的研究是组合几何中的一个重要内容。 本文讨论其中最为著名的Erd（?）s问题。 称一平面点集F是k-等腰集（k≥3），如果F的任一k-元子集中均含有三个点，使得其中一点到另外两点的距离相等。 文献[47]中P．Fishburn描述了3-等腰平面点集的特性，得到关于4-等腰平面点集的若干结论，并且就4-等腰平面点集提出了一个猜想和6个open problems．本文第一章中，给出两个构形，否定了P．Fishburn的猜想，解决了[47]中提出的的4个open problems： 定理1．1．若一个5-点集中5点共线，则该5-点集是4-等腰集，当且仅当其线性相继距离模型为：2：1：1：2，或1：1：1：3，或1：1：2：3，或2：2：1：3。 定理1．2．存在无四点共圆且无三点共线的4-等腰6-点集。 定理1．3．存在无四点共圆的4-等腰7-点集。ABSTRACT定理1.4.存在至少两个4一等腰9一点集.由定理14知P.Fishburn关于任一9一点集都不是4一等腰的猜想不成立.解决问题为:文!47}中给出n个4一等腰8一点集，其第五个未除了这n个构形以外，是否还存在其他4一等腰8一点集等腰8-基于正五边形的顶点及其中心我们另给出了34个4占住J卜、、二甲屯’ 称一平面二一点集尸处于凸位置，如果F的任一点均不含于F的其他任意三点所形成的三角形的内部;称一平面二一点集F处于强凸位置，知果F的任一点均不含干F的其他点所成的凸包中. 边长为1的等边三肩形称为单位三肩形.J巨n。:P二h和RomPinchasi（见文献〔叫）证明了平面中任一处于强凸位置的。一点集至多确定LZ（二一l）/3」个可形成单位三角形的三元组.当。-点集处于凸位置时则至多确定:，一2个可形成单位三角形的三元组.{611中还就一般三肩形约情形作了讨论.本文第二章，着重讨论有关等腰宜考三危形约相关结果.得出: 定理2.1给定一等腰直众三竟形几.平面中任一处于凸位ABSTRACT置的二一点集至多有2。一4个三元组满足:每一三元组均导出一个与T0全等的三角形. 定理2.2.给定一等腰直角三角形T0，平面中任一处于强凸位置的n一点集至多有二个三元组满足:每一三元组均导出一个与几全等的三煮形. 可以证明，这两个结果都是最优的.此外，对于一般等腰三角形的情形，我们有 定理2.3.给定一等腰三竟形T0，平面中任一处于凸位置的二一点集至多有2rc一2个三元组满足:每一三元组均导出一个与几全等约三盒形. Andr此Bezedek问证明了:给定一凸二边形和平面中的二个点，则这二个点可重新编号，使得由第2个点和凸二边形约第乞条边(:二1:2…:哟所形成的三角形中至少有L可3」个三角形是互不交叠约.同猜想这里的下界巨/3」可改进为i可2」.在本文第三章中:我们解决了这一猜想. 定理3.1.设p为任一凸。边形，且={a::处.…久;}为任一给定平面点集，几存在八中的点和尹约边的一个匹配，使得由ABST丑ACT相匹配的点和边所形成的三角形中至少有「二/21个三角形是互不交叠的.可以证明，这个界是最优的.