【摘 要】
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分块半正定矩阵是矩阵理论的一个重要组成部分,对于分块半正定矩阵的性质的研究一直备受研究者关注,利用分块半正定矩阵的性质研究矩阵不等式一直也是十分火热的研究方向.矩
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分块半正定矩阵是矩阵理论的一个重要组成部分,对于分块半正定矩阵的性质的研究一直备受研究者关注,利用分块半正定矩阵的性质研究矩阵不等式一直也是十分火热的研究方向.矩阵函数是矩阵理论中另外一个重要研究分支,在实际生活中应用十分广泛.本文在矩阵研究学者对分块半正定矩阵和矩阵函数性质的理论研究基础上,又进一步地研究了分块半正定矩阵关于矩阵指标的保半正定性,以及给出了矩阵Schur补的形象刻画,同时研究了几个特殊的矩阵函数的基本性质和联系,并得到了一些重要性质.本文的主要内容如下:第一章,主要介绍了本文所需要用到的一些基本定义,基本概念以及基本定理.主要有正定矩阵,半正定矩阵,正规矩阵,Harmard积,矩阵Schur补,Frobenius内积等基本定义和半正定矩阵的判定定理,Schur补定理等相关定理.第二章,首先利用已有2 × 2分块半正定矩阵性质得到了对2 × 2分块半正定矩阵的每一子块分别取谱半径,矩阵秩,谱跨度后所得的2 × 2分块矩阵仍为半正定矩阵;其次利用现有的分块半正定矩阵等价刻画,得到了 2 × 2分块矩阵某一子块取特殊矩阵后是半正定矩阵的等价条件;最后利用矩阵Schur补的性质得到了 2 × 2分块矩阵Schur补的形象刻画以及相关性质.第三章,利用半双线性函数,Frobenius范数以及换位子的定义和性质,得到了协方差矩阵函数,方差矩阵函数,Wigner-Yanase斜信息,Wigner-Yanase关联等矩阵函数的一些基本性质以及它们之间的联系.
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