【摘 要】
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数学上,学者们常常利用噪声来刻画各种复杂系统的不确定因素.近年来,内部和外部噪声驱动的反常动力学模型在反常扩散的研究中起着重要作用.然而受限于分数阶算子的奇异性和非局部性以及噪声的低正则性,此类方程的解析解通常难以给出,因此建立相关方程的数值格式并给出精确的数值分析对探究反常动力学机理有着重要意义,但同时也是一项极具挑战性的工作.本文将给出几类分数阶及随机分数阶扩散方程的数值算法并建立完整的数值分
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数学上,学者们常常利用噪声来刻画各种复杂系统的不确定因素.近年来,内部和外部噪声驱动的反常动力学模型在反常扩散的研究中起着重要作用.然而受限于分数阶算子的奇异性和非局部性以及噪声的低正则性,此类方程的解析解通常难以给出,因此建立相关方程的数值格式并给出精确的数值分析对探究反常动力学机理有着重要意义,但同时也是一项极具挑战性的工作.本文将给出几类分数阶及随机分数阶扩散方程的数值算法并建立完整的数值分析.具体内容如下:第一章介绍了本文所研究问题的背景,回顾并总结了分数阶扩散方程和随机分数阶扩散方程数值解的发展与研究现状;然后简要阐述了本文的主要研究工作及创新点.第二章讨论了两内部状态的时空分数阶Fokker–Planck方程组的数值算法.由于方程组解的耦合性以及含有两个不同的分数阶Laplacian算子,这使得在正则性和收敛性分析中很难充分利用初值正则性.本章利用分数阶Laplacian算子的椭圆正则性和空间插值理论,建立预解算子在不同算子范数意义下的精确估计,然后给出了在不同初值正则性假设下,方程组解的最优正则性估计,并建立了全离散格式及其收敛性分析.第三章建立了Hurst指数H∈（1/2,1）的分数阶Gaussian噪声驱动的时间分数阶扩散方程的数值算法.我们利用预解算子的性质建立解的正则性理论,然后借助Laplace变换等工具,给出了全离散格式的精确误差估计.在本工作中,我们改进了现有的随机分数阶偏微分方程的数值分析方法,使其不再依赖解的显式表达式,并且能够给出噪声正则性与收敛阶之间的关系.第四章对Hurst指数H∈（1/2,1）的分数阶Gaussian噪声驱动的时空分数阶扩散方程建立数值算法及理论分析.由于积分型分数阶Laplacian算子具有的奇异性和非局部性使得其特征函数的性质难以给出,进而使得正则性估计和误差估计存在巨大挑战.我们利用变分方法建立积分型分数阶Laplacian算子的预解估计,进而得到最优正则性估计,然后引入分数阶Ritz投影算子,讨论了所建立的有限差分-有限元格式的收敛性估计.第五章建立了Hurst指数H∈（0,1）的分数阶Gaussian噪声驱动的时空分数阶扩散方程一致的正则性和收敛性分析.由于Hurst指数H∈（0,1/2）,=1/2和H∈（1/2,1）时,分数Brownian运动的It^o等距截然不同,因此给出关于Hurst指数H∈（0,1）的一致数值分析的研究工作仍然没有.我们利用不同分数阶Sobolev空间的等价性建立了Hurst指数H∈（0,1）的分数Brownian运动It^o等距的一致刻画,并基于此刻画,建立了解的正则性估计以及噪声对数值格式收敛性的影响.第六章讨论了分数Brownian单噪声驱动的分数阶扩散方程的数值算法.我们通过建立分数Brownian单运动It^o等距的新刻画以克服分数Brownian单噪声的时空耦合性给数值分析所带来的困难,从而给出了方程解的正则性估计,并利用逼近理论和解算子的正则性给出了一套新的分析框架来建立正则化解和数值解的收敛性.第七章总结了本文的研究工作并对未来工作进行展望.
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