自古以来,对于大素数的检验和判定就是人们所面临的最困难的问题之一。在历史上,费马、狄利克雷、勒让德和欧拉等优秀数学家,他们都曾投入大量的时间和精力去研究有关素数的问题。到了近代,著名数学家陈景润、陶哲轩以及张益唐等人也是一直在不断努力地探索。随着计算机科学和网络技术的发展,素数在编码和现代公共密钥系统等方面更是被广泛应用。因此,对于大素数的研究在今天仍然是一件热门并且很有意义的事情。在引入双曲线的基本理论之后,本文提出了一种新的算术理论——双曲线算术。研究中发现了双曲线上的点在有限域中构成Abel群,根据经典结果可以进一步判定双曲线上的点在有限域上是一个循环群。另外,给出了双曲线的阶的计算公式。因为其阶具有简明的表达式,所以在双曲线上的计算比起在椭圆曲线上更加高效和简单。由单位双曲线可以扩充到双曲线丛,这进一步扩展了群的空间,使得应用在公钥密码体制中会得到更大的密钥空间,在素性检验中也有更多的选择。将新的双曲线算术应用于素性检验.本文提出了一种双曲线上的确定型的素性检验方法。这种方法将对模数的素性判定转化为对双曲线阶数的素性判定,并且可以通过反复运用该方法进一步缩小所需要判定的数,使得计算量更小,时间上更高效。此外,由于双曲线参数的可变性,本文提出的素性检验方法更灵活,可以应用在其他形式的素数如梅森素数的判定上。在研究的过程中,还发现了双曲线上的卡米歇尔现象,事实上,这也是基于双曲线算术的素性检验方法的一种推广。