【摘 要】
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论文研究可积系统中本征函数的一类应用,主要研究平方本征函数对称以及带自相容源（SCS）的可积系统,特别是离散可积系统。主要内容分为全离散、半离散、连续三部分:首先,论文研究平方本征函数在全离散可积系统中的应用。回顾了定义在八面体上的可积方程,证明了离散势形式Kadomtsev-Petviashvili方程（lp KP）的平方本征函数对称。然后,基于柯西矩阵方法研究了八面体可积方程以及离散的波函数,
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论文研究可积系统中本征函数的一类应用,主要研究平方本征函数对称以及带自相容源（SCS）的可积系统,特别是离散可积系统。主要内容分为全离散、半离散、连续三部分:首先,论文研究平方本征函数在全离散可积系统中的应用。回顾了定义在八面体上的可积方程,证明了离散势形式Kadomtsev-Petviashvili方程（lp KP）的平方本征函数对称。然后,基于柯西矩阵方法研究了八面体可积方程以及离散的波函数,得到了一系列扩展的八面体系统,可视为全离散的带自相容源的可积系统。然后,论文分别从KP系统的含一个离散变量和两个离散变量的两种情况出发,研究本征函数在半离散可积系统中的应用。论文回顾了从拟差分算子出发得到的D2?KP系统及其平方本征函数对称,然后借助于连续系统的研究方法,在拟差分算子上加附加对称,得到对应的带自相容源的可积D2?KP系统。随后,论文利用柯西矩阵方法给出带源的D2?KP系统及其相应的精确解。接下来,我们借助两个含差分信息的拟微分算子得到D?2KP系统,给出其平方本征函数对称,并利用柯西矩阵方法在平面波因子中分别加入连续和离散的任意函数得到两类带源的D?2KP系统。最后,论文研究了经典的物理模型和带源的可积模型之间的联系。我们首先回顾了两类Maxwell-Bloch（M-B）型方程的物理背景,建立了其和约化的带自相容源的Ablowitz-Kaup-Newell-Segur系统（AKNS+SCS）的联系。随后利用柯西矩阵方法给出AKNS+SCS系统的解,并借助两者的关系对M-B型方程解进行动力学分析,给出非线性光学研究中的更多可能性。此外,论文还研究Yajima–Oikawa（Y-O）系统和带自相容源的KP系统（KPSCS）的联系,借助于柯西矩阵方法给出的KPSCS的解给出经典Y-O系统更为丰富的解,同时得到一个新的可积的广义的Y-O系统。最后利用约化给出几类经典含自相容源连续可积系统的联系。这些研究加深了我们对于本征函数的性质和应用的认知以及对离散可积系统的理解。
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