【摘 要】
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本文主要研究了有限维约化方法在非线性椭圆型偏微分方程中的应用.本文共分为五章:在第一章中,我们将概述本文所研究问题的背景及其国内外研究现状,并简要介绍本文的主要工作,相关的预备知识以及一些常用的记号.在第二章中,我们介绍了有限维约化方法的基本原理以及在椭圆问题中的一些应用.在第三章中,我们研究了具有相互吸引作用的玻色-爱因斯坦凝聚模型,该模型可以用带L2-质量约束的Gross-Pitaevskii
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本文主要研究了有限维约化方法在非线性椭圆型偏微分方程中的应用.本文共分为五章:在第一章中,我们将概述本文所研究问题的背景及其国内外研究现状,并简要介绍本文的主要工作,相关的预备知识以及一些常用的记号.在第二章中,我们介绍了有限维约化方法的基本原理以及在椭圆问题中的一些应用.在第三章中,我们研究了具有相互吸引作用的玻色-爱因斯坦凝聚模型,该模型可以用带L2-质量约束的Gross-Pitaevskii能量泛函描述.最近,大家广泛地考虑这个模型集中在几个点的集中解.然而,似乎没有结果表明这个模型有集中在高维集合的解.我们利用改进的有限维约化方法和基于Pohozaev恒等式的爆破分析技巧,证明了在适当条件下这个模型集中于球面的径向解的存在性.我们还想指出,这种解的集中现象与经典的非线性Schrodinger方程的解的集中现象有很大不同.在第四章中,我们研究了下面著名的预定数量曲率问题-△u=V（|y’|,y"）uN+2/N-2,u＞0,u ∈ D1,2（RN）,其中（y’,y"）∈R3 ×RN-3,V（|y’|,y"）是R+×RN-3上的一个非负有界函数.我们假设N≥ 5,V（r,y"）有一个稳定的临界点（r0,y"0）,r0＞0并且V（r0,y"0）＞0,然后通过有限维约化方法和局部Pohozaev恒等式构造了新的类型的无穷多解.特别地,其中某种类型的新解可以爆破在关于原点对称的一对点.值得一提的是,Li（[96]）证明了这种聚类爆破现象在V（y）只有孤立临界点时是不可能发生的.在第五章中,我们继续研究了下面著名的预定数量曲率问题-Δu=(1+εK（x）u2*-1,u＞0,u∈D1,2（RN）,其中N≥5,2*=2N/（N-2）,ε＞0并且K（x）∈C1（RN）∩L∞（RN）.已知有许多关于这个问题的存在性结果,其中得到的解基本都是集中在K（x）的孤立临界点上.然而当K（x）具有非孤立的临界点,并且沿着不同的方向有着不同的退化速率时,是否存在集中在这些临界点的解仍然是公开的问题.当K（x）的临界点集是1到N-1维流形且在一些合适的假设下,我们通过基于局部Pohozaev恒等式的爆破分析技巧和改进的有限维约化方法给予这个问题一个肯定的回答,这推广了[27,96,97]中的部分结果.
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