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文章主要考虑了在上半空间的积分方程组{u(x)=∫Rn+(1/｜x-y｜n-α-1/｜x*-y｜n-α)υq(y)dy,(0-1)υ(x)=∫Rn+(1/｜x-y｜n-α-1/｜x*-y｜n-α)μp(y)dy,的解以及解的相关性质,其中Rn+表示Euclidean空间的上半空间,x*=x1,…,xn-1,-xn)是点x关于平面Rn-1的对称点,假设υ∈Lq+1(Rn+),u∈Lp+1+(Rn+)并且p和q具有如下关系1/q+1+1/p+1=n-α/n.(0-2)
下面我们主要得到如下定理:
定理3.1假设(u(x),υ(x))是积分方程组(0-1)的一组正解,并且u∈Lp+1(Rn+),υ∈Lq+1(Rn+).那么(u(x),υ(x))在Rn+上是一致有界的,并且(u(x),υ(x))是连续的.
定理3.2对于积分方程组方程(0-1)的每一组正解(u(x),υ(x))都是关于Rn+中某一平行于xn轴的平面径向对称且单调递减,其中p,q＞1.
定理3.3设(u(x),υ(x))是积分方程组{u(x)=∫Rn+(1/｜x-y｜n-α-1/｜x*-y｜n-α)υq(y)dy,υ(x)=∫Rn+(1/｜x-y｜n-α-1/｜x*-y｜n-α)up(y)dy.的一组光滑正解,那么(u(x),υ(x))满足{(-△)α/2u(x)=υq(x),(A)x∈Rn+,(-△)α/2υ(x)=uq(x),(A)x∈Rn+,(-△)ku(x)=0,(A)x∈(e)Rn+,(-△)kυ(x)=0,(A)x∈(e)Rn+,k=0,1，α/2-1.
设Rn+是n维Euclidean空间,并且0＜α＜n的实数.考虑积分方程组{u(x)=∫Rn1/｜x-y｜n-αυq(y)dy,(0-3)υ(x)=∫Rn1/｜x-y｜n-αuq(y)dy,其中1/q+1+1/p+1=n-α/n.当p=q,u(x)=υ(x)时,(0-3)就变成以下的积分方程u(x)=∫Rn1/｜x-y｜n-αu(7)(y)dy.(0-4)(0-4)来源于—个在紧空间上的Euler-Lagrange方程(见[17]).在文[17]中,Lieb把函数的极大值进行了分类,因此我们可以得到Hardy-Littlewood-Sobolev不等式的最佳常数.他也分类了函数的所有临界点,因此解决积分方程(0-4)就成为了公开问题.
在文[11]中,Chen,Li,以及Ou利用移动平面法解决了Lieb的公开问题.他们证明了如下引理:
引理对于(0-4)的每个具有正则性的正解都是关于某个点x0径向对称且单调递减的,因此我们可以假设这个解具有如下形式c(t/t2+｜x-x0｜2)(n-α)/2,(0-5)其中c和t表示某个正的常数.
他们也建立了这个积分方程和下面的半线性微分方程的等价性(-△)α/2u=u(n+α)/(n-α),x∈Rn.(0-6)在特殊情形α=2时,我们有一系列关于这个解的分类的结果(见[2],[5],[16],以及[18]).最近,Wei和Xu[29]已经得到了α是0到n之间的任意偶数时的结果.
我们能够证明积分方程组(0-3)于以下的微分方程是等价的{(-△)α/2u(x)=υq(x),(A)x∈Rn,(-△)α/2υ(x)=up(x),(A)x∈Rn.在特殊情形α=2时,它变为众所周知的Lane-Emden问题.
在上半Euclidian空间Rn+={x=(x1,x2，xn)∈Rn+｜xn＞0},会出现带有Navier边界条件的同样方程.特殊情况下,当α为偶数时,我们得到{(-△)α/2u(x)=υq(x),(A)x∈Rn+,(0-7)(-△)α/2υ(x)=up(x),(A)x∈Rn+,(-△)ku(x)=0,(A)x∈(e)Rn+,(-△)kυ(x)=0,(A)x∈(e)Rn+,k=0,1α/2-1.