近年来,量子计算机的出现对经典密码体制产生巨大的威胁,设计可以抵抗量子计算机攻击的后量子密码体制迫在眉睫,也备受学者们的关注。由于格中困难问题的结构特点,还没有出现有效的量子求解算法,因此基于格中困难问题的格基密码体制作为后量子密码的典型代表,成为学者们关注的热点。与传统的公钥密码相比,格基密码具有抵抗量子计算机攻击、可证明安全、运算简洁、最坏情况到平均情况的可规约性等优势,因此对格基密码体制的研究显得尤为重要。本论文主要对格基密码的基础性问题进行了研究,包括:生成具有短基的随机困难格、加密算法、构造陷门单向函数、构造损耗陷门函数等。具体的研究内容如下:1.针对格上的短基问题,本文利用矩阵的一个重要性质和建立在整数上的正则定理及其推论,构造了一种应用广泛的生成具有短基的随机困难格。首先给出并证明了矩阵的一个重要性质,然后证明了整数上的正则定理并给出其推论,最后构造具有短基的随机困难格。该结构中的基矩阵是由四个矩阵组成的一个分块矩阵,且文中给出了这四个矩阵块的元素构成,最后本文分析了所提出方案的基矩阵的范数。这四个矩阵的取法确保基矩阵的范数在一个较小的界以内。本文所提出的结构不同于已有方案的结构,在随机矩阵块的元素选取方法上,该结构中随机矩阵块的元素由高斯抽样法选取,这使得该结构的应用范围更为广泛。2.通过建立环上的随机矩阵,本文提出了一个基于环上误差学习问题的陷门单向函数,同时给出了相应的求逆算法,其中包含两个子算法:陷门求逆算法和迭代求逆算法。与已有方案进行比较之后发现,首先本文所提出的基于环上误差学习问题的陷门单向函数比已有方案具有更大的输入比特量;其次,本文进一步扩展了方案中的参数,将素数2扩展为任意的素数p,使得本文所提出的方案效率更高,应用更为广泛。3.基于多项式误差学习问题假设,本文提出了一种高效的加密算法,并且在此基础上构造了一类陷门单向函数。利用本文的加密方案还可以构造损耗陷门函数和唯一损耗陷门函数。在加密矩阵的过程中,该加密算法仅使用一个向量作为密钥,仅随机生成一个向量作为随机向量,从而节约了密钥量和随机量。与已有的方案进行比较发现,本文所提出的方案比已有方案具有更大的输入比特量、更高的实现速度等诸多优势。