Heegaard分解理论是三维流形组合拓扑研究领域中一种非常重要的研究方法,它是通过将流形沿Heegaard曲面切成两个压缩体的方式来研究流形的.几十年来, Heegaard分解理论得到了长足的发展,在处理三维流形中的一些问题时发挥了巨大的作用. Heegaard分解距离的概念是Hempel在2001年引入的,它不仅推广了可约、弱可约Heegaard分解的概念,更是在研究不可压缩曲面的性质、带边流形的融合等问题时发挥了重要作用.近几年通过Heegaard距离来研究带边流形沿着边界上的曲面相粘过程中亏格是否退化的问题逐渐成为三维流形理论中的一个研究热点.　　本文通过对三维流形中带边本质曲面、Heegaard分解距离性质的研究,利用Heegaard分解的细化与融合理论、流形中平环的性质以及Scharlemann-Tomova的定理等方法,针对带边三维流形的融合、平环和以及自融合过程中Heegaard亏格变化的若干问题进行了研究.本文主要给出了做上述曲面和前后亏格不退化的一些充分条件,主要工作如下:　　1.对带边三维流形融合前后亏格的变化进行了研究.利用Scharlemann和Thompson的Heegaard分解细化理论与Schultens的Heegaard分解融合理论给出了三维流形融合后亏格非退化的一个充分条件.特别地,此处所给出的充分条件只与流形中带边本质曲面的欧拉示性数有关,而与曲面间的粘贴映射及因子流形的Heegaard距离无关.　　2.讨论了带边三维流形单侧非分离的平环和的亏格可加性问题.利用流形中平环的性质以及Scharlemann和Tomova证明的Heegaard分解的距离可被流形亏格的2倍所限定的定理给出了平环和亏格可加性成立的一个充分条件,即因子流形的Heegaard分解的距离充分大.并且在这个前提下,证明了当因子流形中平环所在的边界分支亏格不小于2时,在合痕意义下,做平环和所得流形的极小Heegaard分解具有唯一性.　　3.讨论了平环和在纽结理论中的应用.纽结的连通和就是一种特殊的平环和,它与一个重要的纽结不变量-纽结的隧道数有关.本文给出了一个充分条件,使得连通和纽结的隧道数满足上可加性且连通和纽结补的任意极小Heegaard分解是弱可约的.　　4.对带边三维流形的自融合进行了研究.利用Heegaard分解边界稳定化的性质,给出了三维流形自融合亏格的一个下界.并且在一定条件下,证明了自融合所得的Heegaard分解恰好是所得流形极小的Heegaard分解.