利用微分方程模型来研究传染病的传播规律,揭示各个因素对传播规律的影响,并达到最终控制传染病的目的,这是生物数学的一个重要问题。其中,若将重心放在当前状态对传染病传播规律的影响时,可以用常微分方程数学模型来研究;若也关心过去的状态的影响,则需要用时滞微分方程数学模型来研究。本文主要利用Lyapunov泛函方法,并应用La Salle不变集原理,结合Hopf分支理论和中心流形理论以及运用动力系统的一致持久性理论等方法,研究了几类具有时滞的传染病模型的动力学性质,分析了系统的稳定性和Hopf分支。本文的主要内容如下:首先,将一般非线性传染率引入传染病模型,研究了具复发现象和非线性传染率的时滞传染病动力学模型。证明了系统的一致持久性;通过构造适当的Lyapunov泛函,并结合La Salle不变集原理,证明了系统的疾病消除平衡点和地方病平衡点的全局吸引性。证明了若基本再生数小于等于1,则疾病消除平衡点是全局吸引的;若基本再生数大于1,则地方病平衡点是全局吸引的。其次,通过考虑宿主异质性和感染阶段异质性,分别研究了具非线性传染率和感染时滞的多群体传染病动力学模型及多感染阶段的病毒动力学模型。将Kirchhoff矩阵树定理等图论方法应用于Lyapunov泛函的构造中,并利用La Salle不变集原理,证明了系统依赖于基本再生数的阈值动力学行为:若基本再生数小于等于1,则疾病消除平衡点是全局渐近稳定的;若基本再生数大于1,则唯一的地方病平衡点是全局渐近稳定的。由此可得异质的宿主和异质的感染阶段没有改变系统的定性行为。再次,通过在传染病动力学模型中引入感染时滞,研究了具免疫反应和感染时滞的双病毒株SIV感染模型。得到了未感染平衡点的全局稳定性和单感染平衡点的局部稳定性,并对系统进行了Hopf分支研究,发现了感染时滞能够引起单感染平衡点失稳,发生Hopf分支现象并导致周期振动出现。结果显示免疫反应可以使得两个病毒株共存,感染时滞可能改变两个病毒株的竞争结果。最后,通过引入健康T细胞的自身增殖和免疫时滞,研究了具有Logistic增长的健康T细胞和免疫时滞的病毒动力学模型。构造适当的Lyapunov泛函并结合La Salle不变集原理,证明了病毒消除平衡点的全局渐近稳定性;证明了系统的一致持久性;发现了时滞可以引起感染平衡点失稳,并产生Hopf分支;利用规范型和中心流形理论,研究了Hopf分支的方向和分支周期解的稳定性。结果表明,宿主细胞的内禀增长率,感染时滞和免疫时滞可以引起Hopf分支等复杂的动力学行为,通过对三者的调节,可以达到控制病毒载量的目的。