Burgers方程是流体力学中一个非常重要和基本的偏微分方程,广泛地应用于空气动力学、湍流、热传导、交通流、地下水污染等众多领域。此类方程的定解问题通常会有激波产生,这给数值求解带来了一定的困难。Burgers方程可以看作是Navier-Stokes方程的简化模型,并且可以通过对Burgers方程的数值模拟来研究Navier-Stokes方程的性态。对它的深入研究有助于更好的求解其它非线性偏微分方程模型。同时,由于该方程可以构造出精确的光滑解,这为许多非线性问题的数值方法提供了试验模型。因此,对于Burgers方程高效数值计算方法的研究具有重要的理论和现实意义。间断Galerkin有限元方法(简称DG有限元方法)是1973年由Reed和Hill首先提出的,它是一种采用完全间断基函数的有限元方法,具有传统有限元所不具备的灵活性,例如可以允许任意的网格剖分,而且网格节点允许出现“悬挂”。因此DG有限元方法可以简便地应用于各种自适应网格上。现在DG有限元方法在很多研究领域得到了快速的发展和应用,例如空气动力学、磁流体动力学、电磁学、粒子流、半导体设备模拟、气象学、海洋图形学等。1997年Bassi和Rebay将间断有限元方法应用到可压缩Navier-Stokes方程。在此基础上, 1998年Cockburn和Chi-Wang Shu提出了局部间断Galerkin有限元方法(简称LDG有限元方法)。LDG有限元方法也是对Cockburn和Chi-Wang Shu之前提出的Runge-Kutta Discontinuous Galerkin (简称RKDG有限元方法)的一种推广。由于其计算的简单性、易于编程实现以及能很好地保持某些物理特性而得到广泛的应用。全文共分为四章,第一章是序言部分,介绍了Burgers方程的研究背景、目的和意义,叙述了Burgers方程数值求解的研究现状,最后给出了本文的组织结构。第二章我们应用LDG有限元方法求解具有Dirichlet边界条件的一维粘性Burg-ers方程。基于Hopf-Cole变换,我们将非线性Burgers方程转化为一个满足Neu-mann边界条件的线性热传导方程,然后应用LDG有限元方法求解热传导方程,最后再通过Hopf-Cole变换求出Burgers方程的解。我们称上述计算过程为间接方式求解Burgers方程。理论分析表明此方法不但是稳定的而且可以获得任意阶的收敛精度。空间逼近采用Pk多项式时可以得到具有k + 1阶收敛精度的数值解。最后进行数值模拟并与其它三种数值方法相比较来说明上述方法的高效性。此外我们直接应用LDG有限元方法求解Burgers方程,理论分析和数值实验表明通过间接方式求解得到的计算结果精度高,所用的CPU时间少。第三章我们应用RKDG有限元方法求解二维非粘性Burgers方程,基于一致网格剖分,我们采用矩形元和广义的斜率限制器,空间逼近采用P1多项式,每个单元上仅有三个自由度。我们给出了算法的具体实现过程和数值模拟结果。在相同的空间步长下,同采用三角元剖分相比较,矩形元剖分所需计算的未知量总数要少,计算复杂度低,易于实现并且所得的数值结果也较好。第四章是结论部分,对全文进行了总结。本文一方面应用LDG有限元方法间接求解一维粘性Burgers方程,数值实验表明该方法可以获得任意阶的收敛精度。另一方面应用RKDG有限元方法求解二维非粘性Burgers方程,基于矩形元和P1多项式逼近我们得到较好的数值结果。