设p>2为素数,m与n为任意整数.经典的Kloosterman和的定义为K(m,n;p)=p?1∑a=1e(ma+n(a)/p),其中e(y)=e2πiy,(a)表示a关于模p的逆,满足1≤(a)≤p?1以及a(a)≡1(modp).　　设p为奇素数,χ为模p的Dirichlet特征,m,n,k为整数且满足k≥2.定义二项指数和:C(m,n,k;p)=p?1∑a=1e(mak+na/p),C(m,n,k,χ;p)=p?1∑a=1χ(a)e(mak+na/p).　　本文首先利用不完全Kloosterman和的均值定理研究了短区间的并集中的D.H.Lehmer问题的推广,其次利用二项指数和的估计研究了短区间的并集中整数及其m次幂的差的均值分布问题.主要结论如下:　　1.设p是奇素数,H>0,K>0,并设I(j)1,I(j)2是(0,p)的子区间,1≤j≤J,满足|I(j)1|=H,|I(j)2|=K,以及I(j)1∩I(k)1=?,当j≠k时.设c,n为整数,满足n≥2以及(n,p)=(c,p)=1.证明了J∑j=1∑∑x∈I(j)1y∈I(j)2xy≡c(modp)n?(x+y)1=(1?1/n)JHK/p+O(J1/2p1/2logplogH).　　2.设p是奇素数,H>0,K>0,并设I(j)1,I(j)2是(0,p)的子区间,1≤j≤J,满足|I(j)1|=H,|I(j)2|=K,以及I(j)1∩I(k)1=?,当j≠k时.设c,n,l为正整数,满足n≥2,(nc,p)=1以及l|n.则有J∑j=1∑∑x∈I(j)1y∈I(j)2xy≡c(modp)(x+y,n)=l1=JHK/npφ(n/l)+O(J1/2p1/2logplogH?2ω(n/l)),其中φ(q)为Euler函数,ω(q)表示q的不同素因子的个数.　　3.设p是奇素数,1≤H≤p,实数δ满足0<δ≤1,整数m≥2.设I(j)是(0,p)的互不相交的子区间,1≤j≤J,满足H/2≤|I(j)|≤H,以及(y)p表示y在模p下的非负最小剩余.定义I=∪Jj=1I(j),并设χ是模p的Dirichlet非主特征.证明了∑x∈I|x?(xm)p|<δp1=1/p∫[δp]0(∑x∈Ix≤p?1?t1+∑x∈Ix≥t+11)dt+O(mJ1/2p1/2log2plogH),以及∑x∈I|x?(xm)p|<δpχ(x)(<)mJ1/2p1/2log2plogH.