有限域是计算机密码学、数字通讯领域的重要数学工具之一,随着计算机技术的迅猛发展,为有限域的运算提供了很大便利,从而大大推动了人们对有限域性质及构造的研究。有限域可以看作其基域上的线性空间,故对有限域的性质研究可以转换为研究有限域上各种形式的基,其中具有运算速率快等特点的正规基引起人们极大兴趣。对有限域构造的研究就必然要找出其乘法生成元(即本原元),故对有限域上本原元及对应的本原多项式、正规基及对应的正规元进行研究具有重要的理论和应用意义。本文主要运用指数和估计的方法研究了有限域上几类生成元的性质,主要研究内容和结果如下:　　 首先,介绍了有限域的各类生成元的研究现状及主要应用,并对研究有限域生成元所需的相关理论基础进行了归纳。　　 其次,运用Gauss和与Kloosterman和对有限域GF(qn)中存在元素ξ为幂剩余正规元素,ξ与ξ-1同时为幂剩余正规元素以及对任意指定ξ与ξ-1迹的互反幂剩余正规元素三种情形下,幂剩余正规元的个数进行估计,对其存在性进行了研究,给出了存在的充分条件。　　 最后,研究了有限域GF(qn)中形如a+x的本原元的性质。本文将Weil和进行了推广,运用了Jacobi和与Gauss和等指数和工具,给出了满足形如a+x的元素为本原元,其中x为有限域GF(qn)中任意非零元素,这样的本原元素a的个数表达式,并对其存在性进行了研究。本文结果丰富了前人对有限域中正规元素、本原元素等生成元的研究成果,推进了人们对有限域性质及构造理论的进一步研究。