本文研究流形学习问题,它是高维数据维数约简的一个分支。面对“维数灾难”问题,很多数据分析的算法都无能为力。因此,在对高维数据进行分析之前,通常采用数据降维的方法对高维度的数据进行处理,在保持最大有效信息的基础上,有效的提高数据分析效率。在众多高维数据降维方法中,非线性降维方法越来越成为了新的研究热点,其中流形学习的发展引人关注。本论文基于同伦映射理论对高维流形数据降维问题进行了研究。此外利用相关熵对Isomap算法进行了改进。本文的主要工作如下:1.借助同伦映射的理论和思想,研究了非线性流形数据的降维问题。其主要思想是通过同伦映射,将非线性流形所产生的数据点映射到同一空间中的某个线性流形上,从而去除了原数据点集中的非线性结构,实现了高维流形的“展开”,完成了高维数据的降维。由于产生高维数据的非线性流形的解析表达式是未知的,因此,在本文中,利用自适应模糊神经网来逼近高维数据点集。通过逐步迭代,将自适应模糊神经网映射到所指定的线性流形上。由于这一过程是在同一空间内实现的,因此原始的非线性数据点集与降维后的数据点集之间对应关系明显。这一点相对于经典流形算法,如LLE和Isomap等算法具有很大的优势。此外,因为同伦映射的特点,原始数据的局部线性结构特性和局部邻域特性都被很好的保持了下来。这使得降维后的数据能更好地反映原始数据的结构特点,从而为后续的数据分析过程提供了更好的支持。从仿真效果来看,数据的变化过程是连续的,降维过程很直观,达到了相对理想的降维效果。2.基于相关熵研究了Isomap算法。将原始算法中用欧式距离度量距离方式替换成了相关熵度量方式,重新设定了最短距离作为测地线距离。传统的Isomap算法对高维数据降维时,若数据集邻域较大则会产生短路的现象,改进后的Isomap降维算法可以在数据集邻域较大时,依然可以达到降维的目的。本文的创新之处在于应用同伦映射方法对数据进行降维。不同于以往的降维算法,如LLE和Isomap等,需要计算大型矩阵的特征值和特征向量,计算比较复杂。而同伦映射算法的降维原理是将高维非线性流形同伦映射到低维线性流形上,大大降低了数据降维的计算复杂度,并且降维过程是可逆的。