对于数据分析与处理工作,数据的表示都是最基础的问题之一。向量从和矩阵是目前主要的数据表示形式。而真实的数据往往受多种因素的共同影响,这直接表现在获取的数据具有很高的维度,且数据内部有着多重的结构关系。向量和矩阵,作为传统的数据表达方法已经无法全面刻画这些复杂的结构。张量,可以看做是向量和矩阵在形式上向更高阶段的自然推广,可以更好地保持和描述数据的内在结构,尤其是其多重线性关系。因此本文的研究对象为张量。在数据的采集、存储、传输等过程中,不可避免地面临数据缺失、数据污染、与其它数据混合等问题。从这些退化观测出发去恢复原始数据,是一类经典的反问题,需要利用原始数据的某些性质作为约束。源于向量的压缩感知和矩阵的低秩恢复在理论、算法和应用层面的成果,低秩张量恢复也成为一个研究热点。目前针对低秩张量恢复的理论与算法,焦点在于如何刻画张量的秩,并在计算过程中如何利用该低秩性质。对于矩阵情形,大量的低秩矩阵恢复相关算法都是用矩阵的核范数来对矩阵的秩进行松弛,这是因为矩阵的核范数为矩阵的秩的最优凸逼近。而对于张量,在理论上这样的结论并不成立,因而基于张量核范数的算法其准确性也不能与矩阵情形相提并论,如果直接采用类似方法,可能会影响到对低秩张量恢复的应用。因此,针对低秩张量恢复问题,需要从模型、算法和应用等各个层面上进行新的探讨。本文首先描述了低秩张量恢复的研究背景与意义,以及从向量的压缩感知和矩阵的低秩恢复问题到张量的低秩恢复问题的发展与联系,然后针对低秩张量数据的完整化、张量的低秩逼近和张量的鲁棒主成分分析三个问题,研究了低秩张量恢复中的算法和应用。对于模型和算法中对低秩部分的描述与求解,与传统的基于核范数松弛的思路不同,本文采取对于低秩张量全阶展开矩阵进行低秩矩阵分解的策略,构建相应的优化模型,并基于交替方向求解的思路设计针对原模型的(增广)拉格朗日方程的迭代算法,在迭代过程中通过对各阶展开矩阵进行秩的调整,来最终实现对低秩张量的恢复。在给出算法的收敛性分析之后,本文还设计了针对人工数据的数值实验,实验结果表明了本文所提模型与算法的有效性。在应用层面,本文将所提出的低秩张量的完整化算法应用于有数据缺失的视频恢复,将低秩张量逼近算法应用于多通道图像的高斯噪声去除,利用张量鲁棒主成分分析进行视频背景建模。针对这些实际数据的实验结果表明,本文所提的算法可以成为实际应用中的一个新的选择。