【摘 要】
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精确求解一直是非线性偏微分方程研究的重点乃至难点,而耦合多分量可积方程的求解问题更是研究孤立子理论的热点内容.本文主要研究了两类多分量可积方程:Mel’nikov方程以及M
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精确求解一直是非线性偏微分方程研究的重点乃至难点,而耦合多分量可积方程的求解问题更是研究孤立子理论的热点内容.本文主要研究了两类多分量可积方程:Mel’nikov方程以及Maccari方程,根据这两类多分量方程的特点意义选取了Hirota双线性方法以及KP约化方法求其孤子解,并在孤子解的基础上进一步研究了束缚态解.KP约化方法作为本文研究多分量可积方程孤子解的重要方法,与扰动展开求孤子解的Hirota双线性方法相比,形式上更为精炼,常用于求解非线性偏微分方程的孤子解、有理解、怪波解等.该方法首先从所求方程双线性出发,找到KP族中形式类似的双线性方程;其次通过变量代换以及约化,将KP族中双线性方程转化为所求方程的双线性形式;最后得出所求方程Gram行列式形式的孤子解.第二章主要通过KP约化方法,得到二分量Mel’nikov方程的N混合亮暗孤子解,同时对其单孤子解与二孤子解的动力学性质也做了详尽的介绍.孤子解的渐进分析表明,孤子在传播过程中遵循弹性碰撞的运动规律.另外,本文还探究了亮暗孤子的束缚态解.第三章首先以耦合的二分量Maccari方程为例,通过Hirota双线性方法和KP约化方法,深入研究了其Gram行列式形式下的N暗暗孤子解.与亮亮孤子碰撞相比,暗暗孤子的碰撞为完全弹性碰撞,并且在各个分量上都没有能量的转换.此外,论文还进一步探讨了暗暗孤子静止和运动状态下的束缚态解.最后,完成二分量到M分量上的推广,得到一般形式下的多分量Maccari方程的N暗孤子解.
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