设Ψ（x）∈L²（R）。若{Ψ_j,k（x）=2^j/2Ψ（2^jx-k）|j,k∈Z}是L²（R）上的标准正交基,则称Ψ（x）为小波。在高维空间中,理论上经常利用张量积的方法构造高维小波,但用这种方法得到的小波仅有有限的方向,使得其在应用方面具有一定的局限性。这使人们开始从不同角度出发,试图寻找其它工具来克服这种局限性。因此,从事小波研究的科学家们又掀起了一场新的革命——多尺度几何分析。多尺度几何分析源于小波分析又高于小波分析,其基函数具有各向异性和多方向性等良好性质,能不同程度地解决小波函数所存在的问题。2004年,K.Guo等人首次提出了复合伸缩小波的概念,并详细地阐述了它们的性质。他们发现复合伸缩小波具有良好的几何学性质,在应用方面具有很大的优势。与用多尺度分析构造古典小波的方法相同,复合伸缩小波也可使用复合伸缩多尺度分析来构造。本篇论文主要研究复合伸缩多尺度分析的性质,给出复合伸缩多尺度分析尺度函数的特征刻划。全文由五章组成。第一章简要介绍Fourier分析、小波分析、复合伸缩小波的产生背景。第二章给出复合伸缩多尺度分析尺度函数特征刻划,其给出的结论是古典多尺度分析尺度函数特征刻划的进一步推广。第三章列出证明主要结论要用到的一些定理、命题和引理。第四章给出本篇论文主要结果的证明。最后一章给出一些例子。