在群与图的研究中,具有一定对称性的图的研究一直是一个活跃的课题.图的对称性主要表现在它的传递性上面.通过图自同构群作用的某些传递性,可以得到点传递图、半传递图、弧传递图和距离传递图等.然而在通常情况下,一个图往往不具有这些传递性.Cayley图由于独特的构造性成为研究点传递图的一类典型代表.另外,基于 Cayley图的点传递性,对 Cayley图上的半传递图以及弧传递图的研究成为可能,本文主要围绕这些展开.　　Cayley图的正规性研究是研究C ayley图对称性的一个重要角度.为此,本文的第三章研究了单群A6上的C ayley图的性质,证明了上的连通5度非弧传递Cayley图中绝大多数均为正规Cayley图,而非正规的Cayley图在同构意义下只有22个,从而给出了这类图的一个完全分类.　　当一个图既点传递又边传递但非弧传递时,这时通常称这类图为半传递图.半传递图的研究始于Tutte,他证明了不存在奇数度数的半传递图,从此开始了对半传递图的不断研究.为此,本文的第四章考虑了 p5阶4度半传递图的存在性问题.接着将问题转化成p5阶内交换群上的4度图的半传递性问题.最终解决了 p5阶内交换群上三类群的4度图的半传递图的存在性.　　当图自同构群作用在图的弧集上传递时,称其为弧传递图,也叫对称图.随着对弧传递图研究的不断深入,弧传递图的研究扩大到了一般的具有s-弧的传递性的图上来,即 s-弧传递图的研究.而 s-弧传递图的研究也是始于 Tutte,他证明了不存在3度 s-传递图,其中 s>6.在此,本文第五章考虑了6度1-正则 Cayley图并得到以下结果:具有非交换点稳定子群的6度1-正则 Cayley图都是有核的,从而得到了6度1-正则 Cayley图的一个刻画.　　本文采用的是群与图的方法,文中出现的群论和代数图论的概念可参考文献[1-3].