强关联电子体系自半个世纪以来一直是大家的研究焦点。包含了高温超导,模特绝缘体相变、自旋电荷分离、量子自旋液体等热点问题。赫伯德模型是研究强关联体系的最简单的模型,其性质由动能项与在位排斥项的相互竞争主导。赫伯德模型抓住了强关联系统的核心,并且与凝聚态物理中的丰富的物理现象相关,特别是高温超导与模特绝缘体相变。赫伯德模型仅在一维与无穷维存在严格解,我们需要借助于数值方法辅助研究。密度矩阵重正化群方法(Density Matrix Renormalization Group,DMRG)是处理一维模型的重要方法,由于纠缠熵遵循面积律,通常情况下DMRG只能处理非常窄的准一维体系。为了能够更好地研究二维体系,张量网络重正化方法被提出来,张量网络重正化方法是一系列方法的统称,不仅可以用于计算经典统计模型的各种热力学问题,也可以用于研究量子体系。本文内容如下:第一章简要介绍了 DMRG及各种常见的张量网络重正化方法,张量网络态(Tensor Network State,TNS)与机器学习的相关背景。第二章介绍了轨道优化的密度矩阵重正化方法,并研究了二维赫伯德模型。1992年White提出的DMRG是在实空间表象进行计算,1996年向涛老师提出的动量空间DMRG能较好地解决小U赫伯德模型,并能用于计算化学小分子,已经成为量子化学领域的重要方法之一。一般来说,同一个物理态在不同的表象下,纠缠熵存在差异。我们在传统的DMRG基础上,引入了单粒子基变换,发展出轨道优化的DMRG算法。在计算中,自动寻找用于计算赫伯德模型的最优表象。数值结果显示,精度较实空间DMRG有了明显的改善。在大家关心的中等强度耦合情况(U/= 4～8),能量精度提高了约一个数值级,纠缠熵仅有实空间的一半。我们计算了不同尺寸L × = 4,6,8,10)下的精度与纠缠熵,并对得到的最优表象进行了分析,比较了单粒子密度矩阵元素分布特征,轨道之间的互信息特征。另外,我们也计算了在不同掺杂浓度下的结果。第三章从张量网络态表示的角度研究了统计模型中的对偶点。对于具有Zq对称性的统计模型,可以直接从局部张量中获得对偶点信息,帮助确定统计模型的相变点。对于二维钟表模型,通过比较纠缠谱的方式给出近似的自对偶点,并研究了它在大q下的渐近行为。在自对偶点,局部张量的纠缠谱是离散傅里叶变换(DFT)的本征向量。由于量子力学中谐振子的哈密顿量是关于实空间与动量空间对称的,其本征态即是傅里叶变换的本征态。通过将谐振子本征态离散周期化,构造出了一种新的自对偶模型。在Tc=1时,对于模型中不同的参数,我们将得到各种可能的自对偶点。Villian模型就是其中的一个特例。第四章介绍了受限玻尔兹曼机(Restricted Boltzmann Machine,RBM)态与张量网络态之间的等价性。RBM是机器学习领域中非常重要的一种神经网络结构。Troyer研究组将RBM用作量子蒙特卡洛变分波函数,所得的能量精度已经超过了目前最好的张量网络态投影纠缠对态(PEPS)算法。任何一个RBM变分波函数都可以转化为一个TNS,但仅很小一类TNS,能找到其RBM对映。很多统计分布或量子模型,如伊辛模型、团簇(cluster)态、toric code的22自旋液体基态都可以用RBM态严格地构造出来。通过RBM与TNS之间的映射,我们发现对于一个局域连接的RBM,纠缠熵满足面积律。更为重要的是,Troyer研究组所使用的平移不变RBM波函数拟设不仅可以用于表达满足体积律的纠缠熵,同时也能减少变分参数个数。RBM与TNS的联系,为机器学习领域的发展提供了新的视角与工具,通过比较对应的张量维度,我们发现深层玻尔兹曼机(Deep Boltzmann Machine)较RBM能表达更大的纠缠。另外,可以利用纠缠熵来分析数据集的特征。第五章,对前面各章进行了总结。并对优化轨道DMRG的应用提出了一些设想。最后,我们认为,机器学习与张量网络在未来就会有更多的碰撞与融合。具有体积律纠缠熵表达能力是RBM非巨大优势。机器学习中所使用的各种网络结构可能启发我们构造更好的波函数拟设。