张量分解在数据科学、复杂网络等领域有重要应用,其中张量的CP分解是重要分解类型之一。张量的CP分解是矩阵秩一和分解的高阶推广。张量的CP分解广泛出现并应用于心理计量学、化学、机器学习、生物工程等领域。对称张量的秩和对称秩是对称张量CP分解的本质属性。众所周知,在实数域或复数域上,对称矩阵的秩等于对称秩。一个自然的问题:对称张量的秩是否等于对称秩?2008年,Comon教授等人在文献中提出猜想:对称张量的秩等于对称秩。随后,该猜想引起学者们的广泛关注,并在后续研究中命名为“Comon猜想”。本文将对任意域上与Comon猜想相关的若干问题展开研究。主要工作如下:1.研究有限域上对称张量的对称分解的存在性问题。对称张量的对称分解在数据分析等领域起着关键性的作用。已有结论表明,在实数域或复数域上,对称张量的对称分解一定存在。在有限域上已确定一部分对称张量的对称分解存在,但其余部分对称张量的对称分解的存在性无法判断。本文提出两个m元整数有序数组q等价的概念,借助此概念给出有限域上对称张量的对称分解存在的充要条件,并结合张量多项式理论加以证明。该条件不仅结构简单,易于计算,而且在有限域上对任意对称张量都可判断其对称分解的存在性。2.研究任意域（包含有限域）上Comon猜想及相关问题。基于对称张量对称分解的存在性理论,进一步考虑任意域上Comon猜想及其应用。已知在复数域上Comon猜想存在反例,本文构造出三元域上秩为3,对称秩为4的3阶2维对称张量,以此说明Comon猜想在有限域上也存在反例。其次探讨在任意域上Comon猜想成立的条件。已有的Comon猜想判别法对基础域有很强的限制,无法适用于不满足给定条件的域。本文提出张量的第j纤维空间和第k空间的概念,借助这两个新概念给出任意域上对称张量的秩分解为对称秩分解的充分条件,进而给出任意域上Comon猜想成立的两个新判别法。该类判别法不仅拓展了已有判别法的结论,而且可以摆脱对基础域的限制。3.研究有限域上一类对称张量的对称秩分解方法。基于对称张量的对称分解的存在性理论及对称分解的实际意义,进一步考虑有限域上对称张量的对称秩分解方法。在实数域和复数域上,关于对称张量的对称秩分解方法已有许多成果,但在有限域上研究较少,且在有限域上已有的对称秩分解方法,其局限性较大,对于大多数对称张量并不适用。当张量的阶数满足一定条件时,本文通过构造对称张量空间恰当的基底及对称张量空间到向量空间的同构映射,给出该类对称张量的对称秩分解方法,进而可得到对称张量的对称秩。此外,借助Comon猜想的相关结论,本文能够解决一类对称张量秩的求解问题。最后,通过具体案例验证该方法的可行性和有效性。