受加工工艺或在高温环境下材料热膨胀不匹配等因素的影响,材料里不可避免会产生众多微孔或微裂纹等缺陷。孔洞之间、裂纹之间以及孔洞和裂纹之间的彼此增强和屏蔽作用影响着裂纹的扩展路径与扩展速率,进而影响材料的强度和使用寿命。因此,多孔和多裂纹问题一直是结构安全研究领域广受关注的关键问题之一。但由于在实际问题中孔洞或裂纹的分布是随机的,所以很难获得多孔洞或多裂纹问题的解析解答。数值算法的快速发展为解决这一问题提供了新的方案,其中,基于问题基本解的杂交有限元法(HFS-FEM)作为一种近十年来发展起来的高效数值算法,在多边形单元和特殊单元构造方面具有独特的优势,受到越来越多的关注。该算法拥有两套插值函数:一套是定义在单元内部并满足控制方程的插值函数;另一套插值函数定义在单元边界上,以满足单元之间的连续性条件和边界条件的施加;最后通过双变量杂交泛函把域内和边界插值函数联系起来并得到最终的单元刚度方程。相比于传统的边界元与有限元法,该算法具有以下优点:(1)最终的刚度方程中仅仅包含单元边界积分,因此,积分维数降低了一维;(2)沿单元边界的积分方式使得构建任意边数的多边形单元成为可能;(3)单元边界积分形式使得该算法可以很容易实现局部单元的再分和细化;(4)所有单元使用相同的单元内部插值函数,这样极大地简化了单元构造理论;(5)在处理孔洞、夹杂和集中荷载时不像有限元那样需加密网格,通过构建包含孔洞、夹杂和集中荷载的特殊单元可以简化网格划分流程,缩减网格规模,提高计算效率。截至目前,此方法已经被用于多种问题求解,但是带有随机分布椭圆孔的各向同(异)性板的热传导问题和弹性问题尚未涉及。为此,本文通过构造特殊的椭圆孔杂交单元来重点研究该类问题。首先引入考虑椭圆孔旋转效应的复变换来推导满足给定椭圆孔边界条件的特殊基本解,然后利用特殊基本解的线性插值构造特殊的椭圆孔杂交单元,进而利用特殊单元计算不同椭圆孔大小、分布和旋转角度情况下计算域内的温度或位移分布,分析椭圆孔之间的相互作用规律和对材料整体物理性能的影响。本文主要包括五部分研究内容:(1)各向异性板热传导问题的杂交有限元解法;(2)带有多个椭圆孔的各向同性板热传导问题的杂交有限元解法;(3)带有多个椭圆孔的各向异性板热传导问题的杂交有限元解法;(4)带有多个椭圆孔的各向同性板平面弹性问题的杂交有限元解法;(5)二维复合型裂纹问题的杂交有限元解法。每部分都给出了算法的具体实现和相应的算例,证明了本文构造的特殊椭圆孔单元在满足计算精度的同时,显著地节省了计算时间,降低了椭圆孔周围的网格剖分难度和规模。因此,本文所提出的特殊椭圆孔单元可以高效解决多椭圆孔问题。下一步,将通过把椭圆孔退化为裂纹,发展特殊裂纹单元,进而求解更复杂的多裂纹问题。