量子模拟的概念最早于1982年由著名物理学家费曼提出,用以解决经典计算机难以求解或者实验上无法直接观测的复杂量子多体问题,解决途径是通过构造实验上易于控制的量子体系来模拟这些复杂的量子多体系统。1995年实验上实现的玻色爱因斯坦凝聚为超冷原子气体进行量子模拟提供了可能,简并超冷原子气体具有显著的量子特性、纯净的系统环境和高度可控的实验参数。将超冷原子气体置于大失谐的驻波场中可以形成光晶格,完美的晶格势可以模拟固体材料的能带拓扑等量子特性。更为重要的是,在光晶格中调节原子间的相互作用还可以模拟Bose-Hubbard模型或Fermi-Hubbard模型等多体强关联系统。至2011年,超冷原子气体中的人工自旋轨道耦合也被实验实现,至此固体材料中带电粒子在电磁场中所有的性质都可以用中性原子进行模拟。因此,超冷原子系统是模拟能带拓扑体系的理想实验平台。近年来,人们用超冷原子体系不仅模拟了大量的静态拓扑系统,还模拟了许多非平衡动力学过程中的拓扑现象。其中,淬火过程是目前实验实现非平衡动力学最常用的方法。2017年,汉堡大学K.Sengstock小组在超冷原子体系中利用淬火过程实现了动力学量子相变。随后,北京大学刘雄军小组和中国科学技术大学潘建伟小组对拉曼晶格中的超冷原子气体进行了淬火动力学研究。除淬火过程外,时间周期驱动也是实现非平衡动力学过程的重要手段。例如,2016年,I.Bloch小组和Y.Takahashi小组通过周期调制光学超晶格势的相关参数,在绝热条件下分别于超冷玻色子和超冷费米子系统中实现了 Thouless泵浦。抛开绝热条件,目前在时间周期Floquet系统中实现Floquet动力学量子相变的实验仅在固态自旋系统中得以实现,晶格系统中的Floquet动力学量子相变还有待进一步研究。本论文基于目前超冷原子系统模拟动力学拓扑现象的相关实验进展,在理论上提出了用时间周期驱动的零维系统来模拟一维拓扑晶格,同时给出了提取系统绝热演化过程中所积累的几何相的理论方案。进一步,本论文还设计出了周期驱动的一维拉曼晶格模型,用于模拟晶格系统中的Floquet动力学量子相变及其它的动力学拓扑现象,具体研究了如下内容:1.类碱土原子Wannier-Stark阶梯的几何相基于目前在一维光学超晶格系统中测量拓扑能带相应的几何相的实验进展,我们提出了利用周期驱动类碱土原子钟态来提取一个周期演化过程中所积累的几何相的理论模型。我们以171Yb原子为例来讨论这个方案,用两组左右旋圆偏振光交差耦合相互解耦的钟态跃迁,这两组激光的单光子失谐相同但双光子失谐大小相等符号相反。每组两能级系统都可以映射为两带Wannier-Stark 阶梯,周期驱动动力学等效为在两组不同的倾斜晶格中沿相反方向做Bloch振荡。我们通过理论分析和数值计算详细讨论了绝热条件下原子演化一个周期所积累的分立化几何相位。我们采用的特殊交差耦合机制使得人工维度下的两组阶梯具有相同的能带结构和不同的能带拓扑,因此原子积累的动力学相位相等而几何相位不等,它们之间的相位差是实验上的可观测量。我们还进一步研究了系统发生拓扑相变的参数条件,以及偏离绝热条件后的变化趋势。最后,我们提出了相应的实验探测方案,即通过不同核自旋态间的干涉测量来提取两组具有不同拓扑结构的Wannier-Stark阶梯的几何相位差。这一研究展现了激光耦合产生的Floquet系统在能带拓扑中的重要作用。2.周期驱动拉曼晶格中的人工拓扑现象和动力学量子相变基于目前超冷原子系统中模拟能带拓扑和其它量子模拟器中模拟动力学量子相变的有关实验进展,我们设计出两个周期驱动的拉曼晶格系统来模拟动力学拓扑现象。对于第一个理论模型:在低频极限下,我们将分立的频率成分当作一个人工维度,周期驱动拉曼晶格系统的哈密顿量可以映射为一个两维拓扑绝缘体。在高频极限下,我们推导了系统的有效Floquet哈密顿量和微动算符,并发现系统存在Floquet动力学量子相变,这与Floquet系统微动动力学过程中的拓扑现象有关。通过分析有效Floquet哈密顿量的拓扑性质与动力学拓扑现象间的关系,我们证明了拓扑非平庸的有效Floquet哈密顿量是出现Floquet动力学量子相变的充分不必要条件。进一步,我们研究了有效Floquet哈密顿量的拓扑特性与Floquet微动动力学过程中动量-时间域上斯格明子结构间的关系,并研究了偏离高频极限以后各种动力学拓扑现象的变化趋势。第二个理论模型可以解析求得有效Floquet哈密顿量和微动算符,因此可以在任意频率下研究系统出现Floquet动力学量子相变和动力学斯格明子结构的具体条件。由于目前实验上仅在零维固态自旋系统中实现了Floquet动力学量子相变,晶格系统中的Floquet动力学量子相变尚未实现,因此我们的模型对于促进动力学拓扑现象相关的实验发展具有重要意义。