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堆垒问题是数论中非常重要的问题,研究将整数表为特定整数的方幂之和的可能性:N = x1k+x2k+...+xsk.(0.1)例如,Waring问题是寻找整数表为整数的整数次幂之和的可表性,即在(0.1)中k是一个固定的整数且xi是自然数.著名的Lagrange四平方定理表明当k = 2且s=4时方程可解.一般的Waring问题是寻找最小的s0=s(k)使得当s≥s(k)时方程可解.Vaughan和Wooley在[63]中给了 Waring问题很好的研究综述.最近Bourgain,Demeter和Guth[6]以及Wooley[65]分别解决了Vinogradov中值定理中的主要猜想,很好地改进了 Waring问题的相应结果.Waring-Goldbach 问题研究N = p1k+p2k+ … +pks.(0.2)的可表性.这里Pi是素数.特别地,当k = 1且s = 2时,这是偶数Goldbach猜想,即每个大于等于6的偶数可表为两个素数之和;当k = 1且s = 3时,这是奇数Goldbach猜想,即每个大于等于9的奇数可表为三个素数之和.1937年,Vinogradov[64]证明了每个充分大的奇数N都可以写成三个素数的和.2013年,Helfgott[29,30]彻底解决了奇数Goldbach猜想.关于偶数Goldbach猜想,目前最好的结果是陈景润的{1,2}(见[9]),即任何一个充分大的偶数可以表示为一个素数与一个至多有两个素因子的整数的和.对于非线性Waring-Goldbach问题,即k≥2 2的情形,华罗庚[32]证明了当s≥2k+1时,对所有满足一定同余条件的充分大的整数N方程(0.2)可解.之后许多学者研究了这个问题并且得到了丰富的结果(见[28,32,33,52,53,60,68]).此外,许多数学家还考虑了在问题(0.2)中对素数进行更多限制的可表性问题,例如参见[21,44,45,62].1933年,Segal[54,55]考虑了分数次幂的堆垒问题,研究了不等式|x1c+x2c...+xsc-N|<ε(0.3)以及方程[x1c]+[x2x]+ …+[xsc]= N(0.4)的可解性.其中c是大于1的非整数,[x]表示x的整数部分.Segal证明了存在s0(c)使得当s ≥ s0(c)时,上面两个式子对所有充分大的整数N都有解.Deshouillers[14]和 Arkhipov,Zhitkov[1]改进了 Segal 在问题(0.4)上的结果.Piatetski-Shapiro[49]则考虑了在(0.3)中将x1,x2,...,xs限制到素数的情形.如果用H(c)表示对固定的s>0,(0.3)对所有充分大的整数N都可解的最小整数s.他证明了lim sup H(c)/clog c≤ 4.c→∞此外,Piatetski-Shapiro 还证明了当 1<c<3/2时H(c)≤ 5.之后许多数学家考虑了 s = 3和s = 5的特殊情形,给出了许多结果,例如可参见[2,3,8,20,36,38,41,58,61,66,67].本文研究当1<c<2时,方程N =[n1x]+[n2c](0.5)对充分大的N的可解性.对于这一问题,Deshouillers[15]证明了当1<c<4/3时,每个充分大的正整数N都可以表示为形式(0.5).Gritsenko[24]和Konyagin[35]分别扩大了(0.5)中c的范围.特别地,后者给出1<c<3/2.注意到当变量为素数时,这个问题甚至比Goldbach猜想更难.在[4]中,Balanzario,Garaev和Zuazua研究了(0.5)中一个变量取为素数的情形,即N=[nc]+[pc],(0.6)其中n是正整数,p是素数.他们证明了当1<c<17/11时,这个混合型问题对几乎所有的正整数N都有解.Kumchev[37]证明了当1<c<15/14时,每个充分大的整数N都可以表示为形式(0.6).本文首先考虑在问题(0.6)中用石榴数替换素数p的问题,即N =[nc]+[mc].(0.7)其中m是石榴数,即m是最大素因子P(m)≤ y且y ≥ 2的整数.我们有如下定理.定理1 当θ>4.5并且1<c<(12 + 9(1-1/θ))/19时,每个充分大的整数N都可以表示为形式(0.7),其中n是正整数,m是满足最大素因子P(m)≤y且y ≥(log N)θ 的石榴数.我们知道在Goldbach问题的研究中,有一类非常重要的结果是研究例外集的大小E(X)的估计.这里E(X)表示不超过X且不能表示为两个素数之和的偶数的个数.Chudakov[11],van der Corput[13]以及 Estermann[19]分别独立地证明了对任意A>0,有E(X)《Xlog-A X.Montgomery和Vaughan[48]证明了存在一个绝对常数δ>0使得E(X)<<X1-δ.陈景润和潘承洞[10]首次给出了 δ = 0.01,即E(X)<<X0.99.李红泽[42]给出E(X)<<X0.914.[43]中给出E(X)<<X0.879.目前最好的结果是[50]中E(X)<<X0.72.本文考虑的另一个问题是与例外集有关的问题,即研究N=[p1c]+[p2c](0.8)的例外集估计,其中P1,p2是素数.在[40]中,Laporta证明了当1<c<17/16时,存在B>0使得Ec(X)<<Xexp(-B(log X)1/3-ε),其中Ec(X)是不超过X且不能表示为形式(0.8)的正整数的个数.我们将给出更小的例外集,我们的结果改进了 Laporta的结果.定理2 当1<c<24/23时,我们有Ec(X)<<X1-(24γ-23)/18+ε,其中γ=1/c.