众所周知，群和图之间有着密切的关联.在许多情况下群的性质可以得到一些图的性质，反之亦然.例如，Gruenberg和Kegel引入了有限群G的素图GK（G）的定义，并根据素图分支得到有限群的一个分类.很多学者利用此分类得到某些单群的纯数量刻画，即用“群的阶和元素的阶”或用“元素的阶”来刻画单群。 有限群G的非交换图▽（G）亦引起了很多作者的关注.文[22]中给出其定义如下：▽（G）的顶点集合是G＼Z（G），当两个顶点x与y的换位子不等于单位元时x与y相连. 1987年，J.G.Thompson教授提出如下猜想. Thompson猜想设G是有限群，Z（G）=1，M是有限非交换单群，满足N（G）=N（M），则G≌M，其中N（G）表示G中共轭类长的集合. 陈贵云教授证明了Thompson猜想对素图非连通的所有非交换单群成立，可参见文[8，9，10，11]. 对于素图连通的非交换单群，Thompson猜想是否成立，至今没有任何结论. 非交换图的概念引入之后，许多学者试图用非交换图来刻画单群. 2005年，A.R.Moghaddamfar，W.J. Shi，W. Zhou和A.R. Zokayi在文[22]中证明了对某些群，如An1 Sn1散在单群，素图非连通的李型单群，若存在另外一个群与其非交换图同构，则这两个群的阶相等. 2006年，A.Abdollahi，s.Akbari和H.R. Maimani在文[1]中证明了对某些群，如PSL（2，2n），Sz（22m+1），若存在另外一个群与其非交换图同构，则这两个群同构. 文中还提出下述猜想： AAM猜想设M是有限非交换单群，G是有限群，满足▽（G）≌▽（M），则G≌M。 作者在第二章中对AAM猜想进行了讨论，考虑有限单群L2（q），L3（g）及一般的素图非连通的有限单群，并讨论了素图连通的度数为10的交错群A10，得到如下一些结论： 定理2.2.4令G是一个有限群，▽（G）≌▽（M），其中M=L2（q），则G≌M. 定理2.3.5令G是一个有限群，▽（G）≌▽（M），其中M=L3（q），则G≌M. 定理2.4.3设M是素图非连通的有限非交换单群，G是一个有限群，满足▽（G）≌▽（M），则G≌M. 定理2.5.7设G是有限群，▽（G）≌▽（A10），则G≌A10。 群的阶和元素的阶是有限群论的基本数量，在有限群尤其是有限非交换单群的结构中起着重要的作用.设G是有限群，π（G）表示|G|的素因子，πe（G）表示G中元素阶的集合，N（G）表示G中共轭类长的集合.文[39]中给出群G的素图GK（G）的定义，其顶点集合V（GK（G））=7π（G），边集合E（GK（G））={p～q|pq∈πe（G），p，q∈V（GK（G）））。 1987年，施武杰教授提出如下猜想： 猜想设G是有限群，M是有限非交换单群，则G≌M当且仅当（1）πe（G）=πe（M），（2）|G|=|M|。 作者在第三章对上述猜想进行讨论，得到下面的定理3.2.8：定理3.2.8设G是有限群，M—Dn（2），n为偶数，则G≌M当且仅当（1）πe（G）=πe（M），（2）|G|=|M|。 定理3.2.8对文[40]不能证明的情形给出了补充. 在文[19]中，作者引入特征为p的李型单群的素数幂图.我们定义这种图Γ（G）：其顶点集合是{ra|r≠p为素数，a>0是整数，G中存在ra阶元}.它是由G中的素数幂阶半单元的阶组成.对于图中两个不同的顶点ra和sb，若G中存在lcm（ra，sb）阶元，则定义ra和sb之间有一条边. 作者在第四章讨论了关于特征为p的李型单群的素数幂图的连通性，及素数幂图的每个分支为完全图的有限李型单群的分类，得到如下结论： 定理4.2.5李型单群的素数幂图的连通分支数至多是5. 定理4.3.6设G是一个有限李型单群，其素数幂图的每个连通分支均为完全图，则G为下列群之一： （1）A1（q），其中q>3； （2）A2（4）； （3）A2（q），其中（3，q—1）=1； （4）A3（2）； （5）2A2（q），其中（3，g+1）=1； （6）C2（q），其中q>2； （7）2B2（q），其中q=22k+1； （8）G=G2（q），其中q=3k。