本博士学位论文主要利用广义零点和不等式技巧，获得了几类微分系统新的Lyapunov型不等式，这些不等式在一定意义下是最优的;建立了时标上一阶线性Hamilton系统的稳定性准则，统一、推广并改进了已有相关的结果;给出了一维拟线性椭圆系统的广义特征值更好的下界.所得结果进一步揭示了Hamilton系统的本质特征，丰富并完善Lyapunov不等式和Lyapunov稳定性的相关理论，推动微分方程定性理论的发展.　　全文由如下六部分组成:　　第一章，简述了Lyapunov型不等式及Hamilton系统的相关研究背景，并简要介绍了本文的主要研究工作.　　第二章，建立了时标(T)上一阶线性Hamilton系统x△(t)=α(t)x(σ(t))+β(t）y(t)，y△(t)=-γ（t)x（σ(t））-α（t)y（t）新的Lyapunov型不等式，其中α(t)，β(t),γ(t)为(T)上的rd-连续函数.　　第三章，建立了一阶非线性Hamilton差分系统{△x（n）=α(n)x(n+1)+β(n）|y（n）|μ-2y（n），△y（n）=-γ(n)|x(n+1)|v-2x（n+1）-α（n）y(n)新的Lyapunov型不等式，其中μ，v＞1且1/μ+1/v=1，α(n)，β(n)和γ(n）是(Z)上的实值函数.　　第四章，建立了拟线性椭圆系统{-(r1(t)|u1(t)|P1-2u1(t))=f1（t)|u1(t）|α1-2|u2(t)|α2u1(t)，-(r2(t)|u2(t)|P2-2u2(t))=f2(t)|u1(t)|β1|u2(t)|β2-2u2(t)和{-(r1(t)|u1(t)|P1-2u1(t))=f1(t)|u1(t)|α1-2|u2(t)|α2…|un(t)|αnu1(t)，-(r2(t)|u2(t)|P2-2u2(t))=f2(t)|u1(t)|α1|u2(t)|α2-2…|un(t)|αnu2(t),（省略号）-(rn(t)|un(t)|Pn-2un(t))=fn(t)|u1(t)|α1|u2(t)|α2…|un(t)|αn-2un(t)新的Lyapunov型不等式，其中fi是定义在(R)上的实值函数，1＜Pi＜∞，αi＞0，∑ni=1αi/Pi=1.　　第五章，建立了2n阶微分方程x(2n)(t)+（-1）n-1q(t)x(t)=0新的Lyapunov型不等式.　　第六章，利用Floquet理论及第二章中所得Lyapunov型不等式，建立了时标上的一阶线性Hamilton系统的稳定性准则.