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作为动力系统的一个分支，神经网络具有丰富的动力学行为。它在诸如模式识别、信号处理和优化计算等方面均有广泛的应用，这吸引了很多学者对其动力学行为展开研究。本文主要研究了神经网络的稳定性与分岔。伪随机数生成器在诸如蒙特卡洛模拟、计算机游戏、密码学等方面都有广泛的应用，这吸引了很多学者对其生成序列的性质展开研究。本文主要讨论一类非线性伪随机数生成器—逆伪随机数生成器的周期分布。全文共研究以下几个方面的内容。1.时间标度上混合时滞神经网络的全局指数稳定性研究在不要求激励函数单调性和有界性的条件下，通过构造Lyapunov-Krasovskii泛函，使用线性矩阵不等式(LMI)方法，同胚映射理论和时间标度理论获得了确保时间标度上混合时滞神经网络平衡点存在性、唯一性和全局指数稳定性的LMI条件。其结论推广了现有的结果。2.时滞复值神经网络的有界性与完全稳定性研究通过使用局部抑制方法,获得了时滞复值神经网络轨线有界的判定条件和网络的全局吸引集。通过运用能量极小化理论和拉格朗日中值定理，以及化复LMI为实LMI的方法，获得了网络完全稳定的实LMI形式的判定条件。值得指出的是，本文不但去掉了一些文献中要求网络的平衡点孤立的条件，还将一些文献中有关实值神经网络有界与完全稳定的结果推广到了复值神经网络中。3.带有有限分布时滞的三神经元网络的局部稳定性与局部分岔研究通过将有限分布时滞作为分岔参数，研究了带有有限分布时滞的三神经元网络的局部稳定性与局部分岔。首先，通过分析网络线性化系统特征方程根的分布获得了分岔临界值。通过运用中心流形定理和规范型理论获得了验证分岔周期解的临界性与稳定性的条件。其结论推广了现有的结果。4.Galois环上逆伪随机数生成器的周期分布研究通过运用转化法将逆伪随机数生成器转化为等价的线性反馈位移寄存器，进一步将线性位移寄存器的周期分布问题规约为Galois环上其特征多项式根的阶数分布问题。经过分析得到了Galois环上逆伪随机数生成器的周期分布的全部信息。其结论推广了现有的结果。