【摘 要】
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作为具有特殊结构的线性系统,鞍点问题一直是科学计算领域的研究热点.事实上,关于传统鞍点问题的研究已经基本趋向成熟.本文在这些已有研究的基础上,主要探讨了具有特殊双鞍点结构的双鞍点系统的高效求解方法.首先,通过对双鞍点系统系数矩阵(双鞍点矩阵)的合理划分,分别建立了分块上三角和分块对角预处理子.详细分析了预处理后双鞍点矩阵的特征值性质并给出了更具实际意义的非精确形式.在数值实验部分,本文用预处理的广
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作为具有特殊结构的线性系统,鞍点问题一直是科学计算领域的研究热点.事实上,关于传统鞍点问题的研究已经基本趋向成熟.本文在这些已有研究的基础上,主要探讨了具有特殊双鞍点结构的双鞍点系统的高效求解方法.首先,通过对双鞍点系统系数矩阵(双鞍点矩阵)的合理划分,分别建立了分块上三角和分块对角预处理子.详细分析了预处理后双鞍点矩阵的特征值性质并给出了更具实际意义的非精确形式.在数值实验部分,本文用预处理的广义最小残量法(PGMRES)求解双鞍点问题,同时将数值结果与已有研究中预处理子的表现作对比,进而体现这些新提出预处理子的有效性.接着,引入非零参数和对称正定子矩阵,并对原双鞍点矩阵进行分裂,进而直接定义了一个基于该分裂的分块下三角预处理矩阵.同样也分析了预处理后系数矩阵的特征值分布情况.对于预处理子中的两个对称正定子矩阵,本文给出了几种不同的选择并记录了这几种情形下该分块下三角预处理子在数值例子中的表现.数值结果表明,与已有研究相比,该预处理子具有一定的竞争力.最后,本文提出新的对称三角分解算法.该算法可以将原双鞍点矩阵分解为分块三角矩阵与对称正定矩阵的乘积.此分解算法的设计思路是利用分块递归的思想,不断降低被分解矩阵的维数直至一维.相比于已有的对称三角分解,新算法在分解时间上占有较大的优势.借助该分解算法,可以成功地将非对称不定的双鞍点系统等价转换为对称正定系统,从而原本无法直接使用的共轭梯度法即可被用于求解该对称正定系统.以这样的方式所得到的数值结果相对于直接运用PGMRES求解的表现是有可比性的.
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