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数论中的指数和，Kloosterman和，Guass和，Ramanujan和等和式都有紧密的联系.近年来，很多学者深入的研究了这些问题，并且获得了很多优秀的研究成果.本文运用简化剩余系，三角和，Dirichlet特征的正交性，Ramanujan和等性质以及学者研究所利用的方法，对已有的各种指数和进行推广.研究结果如下: 1.对于正整数q(q≥3)，m，n，k，s，其中n满足（n，q）=1，研究了q∑m=1x∑mod q|q∑a=1x(a)e(mak+nāk+as/q)|4的均值，并且得到了一个精确的计算公式. 2.设t为正整数，k1，k2，…，kt及m1，m2，…，mt，n均为正整数且p为素数，设q＞2为整数，且满足(m2，q)=…=(mt，q)=（n，q）=1.令L=k1+k2+…+kt，多项式ψ(x)=m1xk1+m2xk2+…+mtxkt，研究了q∑m1=1x∑mod q|S（ψ，n，x;q)|4的均值，并且分别给出了当(k1，q)=1及k1|k2，k1|k3，…，k1|kt，正整数n满足(n，q)=1，或(k1，qφ(q))=1，正整数n满足(n，p)=1时的恒等式. 3.设p，m，k，l，α是正整数且p是素数，那么对正整数n且（n，p)=1，研究了pα∑m=1x∑mod pα|pα∑a=1x(a)e(mal+nāk/pα)|4并获得了一个等式.