【摘 要】
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本文考虑一类快扩散p-Laplace方程解的整体存在、熄灭与非熄灭:其中△pu=div(|(?)u|p-2(?)u),Ω是RN(N≥ 2)中边界光滑的有界区域,参数 p,q,s满足 1<p<2,g>0,0 ≤ s<p,且 u0 ≥(?)0,u0 ∈L∞(Ω)n w01,p(Ω).我们首先介绍了关于快扩散p-Laplace方程的研究背景和研究现状.然后给出一些必要的预备知识.
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本文考虑一类快扩散p-Laplace方程解的整体存在、熄灭与非熄灭:其中△pu=div(|(?)u|p-2(?)u),Ω是RN(N≥ 2)中边界光滑的有界区域,参数 p,q,s满足 1<p<2,g>0,0 ≤ s<p,且 u0 ≥(?)0,u0 ∈L∞(Ω)n w01,p(Ω).我们首先介绍了关于快扩散p-Laplace方程的研究背景和研究现状.然后给出一些必要的预备知识.最后,通过利用Hardy-Littlewood-Sobolev不等式和比较原理证明了当q>p-1且u0适当小时,解在有限时刻熄灭;当q ≤ p-1且初始能量非正时,解在任意有限时刻都不熄灭.本文的主要结果如下:定理1.设u0∈ L∞(Ω)∩W01,p(Ω).当0<q ≤ 1时,问题(0.1)的弱解整体存在;当q>1且(?)时,问题(0.1)的弱解也是整体存在.这里λ1>0是p-Laplace算子在Ω上满足齐次Dirichlet边界条件的第一特征值,φ1(x)≥ 0是满足‖φ1‖∞=1的第一特征函数.定理2·设u0 ∈ L∞(Ω)∩ W01,p(Ω),0 ≤ s<p,m=u(x,t)是问题(0.1)的弱解.(1)若p-1<q≤1,且u0 u0满足则解u(x,t)在有限时刻熄灭;(2)若q>1,且u0满足(?)和则解u(x,f)在有限时刻熄灭.这里C1是与p,s,N有关的正常数,(?)是(?)B(0,1)的面积,r是Gamma函数.定理3.设 u0 ∈ L∞(Ω)∩W01,p(Ω)0≤s<p,u=u(x,t)是问题(0.1)的弱解.(1)若q=p-1且E(u0)≤ 0,则解u(x,t)在任意有限时刻都不熄灭;(2)若q<p-1且E(u0)<0,则解u(x,t)在任意有限时刻都不熄灭.这里(?).
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