基于量子多体系统在参数空间的绝热演化,我们提出了一个分析量子相变与拓扑量子相变的微分几何途径.特别的,在系统基态绝热演化所诱导的复矢量丛上,我们定义了一类非阿贝尔量子绝热度规张量,从而使矢量丛上相邻基态之间的距离的度量成为可能。通过分析基态对参数变化的响应,我们指出对响应函数的不同方式的定义,将诱导出两类局域度量.在一般情况下,分别为:非阿贝尔Riemannian度规与非阿贝尔Berry曲率,前者为非阿贝尔量子绝热度规张量的对称部分,后者为其反对称部分.在U(1)定域规范结构下,量子绝热度规张量统一了基态Berry相与基态保真率两种途径,这两种方法已广泛应用在量子相变的研究中.系统基态具有简并时,系统具有U(N)定域规范群,此时,量子绝热度规张量相应为非阿贝尔形式,我们相信这一方案对于凝聚态物质中可能的非阿贝尔态相变以及拓扑量子计算的研究也提供了一个有价值的工具.　　 本论文的结构如下:　　 第一章,简要概括了凝聚态物质中的量子相变与量子临界现象；简述了刻画量子相变的两种几何途径:基态保真度与绝热几何相(Berry相)的相关概念；最后,指出本文工作的背景与意义.　　 第二章,关注于分析量子相变的基态保真度与保真率途径；讨论了基态保真率与系统虚时关联函数的内在关系；分别在一维XY模型与Kitaev模型中,利用基态保真率分析了其中的对称性破缺型量子相变与拓扑量子相变,指出基态保真率途径只能刻画出相边界而不能描述拓扑序,并给出了其局限性的几何根源.　　 第三章.讨论了量子绝热演化,平行输运,Berry相的相关概念；讨论了分析量子相变的Berry相与Berry曲率途径；严格解决了一类非谐两周期的XY自旋链模型,分析了该系统的量子相变性质.该系统可同时具有两个量子相变点,我们发现在热力学极限下,系统基态的Berry珂曲率在临界点呈现广延或超广延性质.　　 第四章,在基态简并子空间的量子绝热演化所诱导的矢量丛上,我们定义了一类非阿贝尔量子绝热度规张量；通过刻画基态对参数的响应,在一般情况下,我们指出存在两类不同的局域度量:非阿贝尔Riemannian度规与非阿贝尔Berry曲率,分别为量子绝热度规张量的对称与反对称部分；在U(1)规范结构下,我们仔细分析了一类具有拓扑量子相变的两能带模型,我们采用量子绝热度规张量分析了系统的正常-拓扑绝缘相变,并同时刻画了相边界与拓扑序.