图论(Graph Theory)是以图为研究对象,是数学界研究的一个分支。近年来随着现代科学技术的发展,图论成为了计算机科学技术、现代信息技术、物理及化学等众多学科的重要基础理论。对图论进行研究最常用的方法就是代数和图相结合,为此人们引进了各种矩阵,通过研究这些矩阵的特征值的性质来反映图的性质。图的矩阵特征值及其重数称作图的对应矩阵的谱,主要包括图的邻接谱、拉普拉斯谱、距离谱、距离(无符号)拉普拉斯谱和正规拉普拉斯谱等。本文主要通过研究图的矩阵特征值及特征向量来建立图的结构与图的特征值以及特征向量之间的关系,综合运用代数方法、组合方法以及分析的方法来研究图的拓扑性质,主要从以下三个方面进行了研究:(1)利用分块矩阵的原理和代数中求解矩阵特征值的方法,计算出了风车图的距离谱、距离拉普拉斯谱和距离无符号拉普拉斯谱;(2)根据图形构造的特点及分块矩阵的原理,通过数学归纳的方法,由DX=λX特征值的唯一性对双(邻接)日冕图进行距离谱、距离拉普拉斯谱和距离无符号拉普拉斯谱的求解;(3)由特征值的唯一性通过代数的方法对五边形迭代图的正规拉普拉斯谱进行求解。同时对五边形迭代图的正规拉普拉斯谱进行应用,求解了三个重要的参数:度乘基尔霍夫指标,Kemeny常数和生成树的数目。