【摘 要】
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为了防止热导体过热,工程上通常在热导体表面涂上一层薄的热障涂层,例如航天飞机外壳涂有纳米材料制成的绝热层.为了避免热胀在涂层和热导体接触面之间的聚集,该涂层通常由纯
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为了防止热导体过热,工程上通常在热导体表面涂上一层薄的热障涂层,例如航天飞机外壳涂有纳米材料制成的绝热层.为了避免热胀在涂层和热导体接触面之间的聚集,该涂层通常由纯陶瓷层和混合层两层构成,其中混合层由功能梯度材料(FGM)制成,可使热应力由陶瓷部分到热导体部分呈现连续变化.按照牛顿冷却定律,该数学模型由满足Robin边界条件的热方程支配.为使热导体得到最佳绝热保护,在数学上,我们从以下两个角度开展研究.1.考虑当涂层厚度趋于0时,带有Robin边界条件的热方程解在热导体边界的实效边条件,即解的渐近行为.该部分我们主要采用构造特殊的试验函数的方法,通过精确刻画极限解所满足的方程及边界条件,我们发现实效边条件取决于涂层的热传导率,热交换率和涂层的厚度三者之间的量纲关系.其中保证实效边条件为Neumann条件的涂层绝热性能最好,此时要求涂层的热交换率趋于0,或者热传导率与涂层厚度的比值趋于0.最后通过给出一个线性功能梯度材料的例子,我们发现了功能梯度材料与传统材料的比较优势.2.考虑当涂层厚度趋于0时,Robin主特征值的渐近行为.按照特征函数展开法,容易发现要确保涂层的绝热性能最好,需要主特征值很小,且主特征函数在热导体上很大.在该部分,根据变分原理结合特殊函数法,我们清晰刻画了主特征值和主特征函数所满足的极限方程和实效边条件,并且发现当涂层的厚度趋于0时,要么热交换率趋于0,要么热传导率与涂层厚度的比值趋于0,涂层的绝热性能最好.这一结论与角度1的结果是吻合的.
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