经典的第一积分能否作为约束是一个存在争议和令人困扰的问题，至今仍没有定论。为了解决这个问题，本论文深入研究了约束和经典第一积分(经典第一积分在本文是指循环积分和能量积分)的内在联系，证明约束和经典第一积分从本质上都属于第一积分的范畴。进一步，本论文在第一类拉格朗日方程的基础上证明了所有除约束外的第一积分(包括经典第一积分)都可以按约束处理，而相应的拉格朗日乘子等于零。本论文还利用系统的全部第一积分对动力学方程进行降阶，并得到动能嵌入形式的动力学方程。　　为了揭示能够把第一积分看作约束处理的本质原因，本论文综合考虑牛顿的经典力学和拉格朗日的分析力学，把微分形式的分析力学变分原理的适用范围从约束组所限制的微变空间扩展到积分组上的微变空间，并且成功的把物理规律的普遍性归结为微变空间上对应变分的独立性。进一步，根据改进的多重微变空间上的变分原理以及改进微变空间上对应变分的独立性发展了拉格朗日力学体系，并推广到事件空间。改进后的理论体系不仅从根源上解决了第一积分能否作约束处理这个争议问题，而且该理论体系与牛顿第二定律一致。　　本论文研究了最大可积组与系统的解析解之间的关系，并利用最大可积组得到一类两连杆、三连杆以及四连杆平面自由运动的周期性解析解；还根据可积组与系统的运动轨迹的关系，计算了零耦合自由飘浮空间机械臂的轨迹方程。进一步，在改进的微变空间动力学理论和经典的降阶方法基础上，提出了混合降阶方法:首先利用系统的最大可积组建立初步的降阶模型，然后再根据罗斯方程和惠特克方程分别对循环积分和能量积分进行进一步降阶。　　在多重微变空间动力学建模方法的基础上，利用一般三体系统所共有的经典第一积分和中心构形的平面三体系统所特有的第一积分降阶系统的动力学方程，得到与系统的解等价的可积组，从而证明了中心构形的平面三体问题都具有周期解。　　本论文构造了一类对称的三体系统，此类系统中有一个质点作往复直线运动，另外的两个质点等质量且关于第一个质点往复运动所形成的直线旋转180度对称，并且该系统满足一定的初始条件。此类系统共有14个独立的第一积分，容易证明只要再找出一个独立的可积的第一积分，则系统的解就是周期解。进一步，证明了此类系统所对应的曲线族中可以找到其中一条曲线，该曲线对应的解为周期解。本论文还证明了这类三体系统的两个旋转质点的运动曲线不能保持在某个平面内。