本文主要研究了位于网和拓扑基之间的一种特殊的网——弱基的“遗传性”和它在投影映射下的性质，并以Arens空间S2为例对一些不成立的命题给出了反例。由于各种网比起基具有更加微妙和更加可变的结构，从20世纪60年代起，广义度量空间理论就成了一般拓扑学中一个非常活跃的研究方向。拓扑学者们通过对网进行各种各样的限制，引入许多重要的广义度量空间类。在这样的情况下，Arhangelskii(1966年)引进了弱基的概念，揭开了对弱基的研究。比如，弱基是开遗传和闭遗传的。然而后来的拓扑学家主要在广义度量空间内研究具有某些点可数性质弱基的空间，比如g-第一可数空间，g-第二可数空间，g-可度量空间等。对弱基本身的研究却很少，甚至对弱基最基本的“遗传性”，乘积性，是哪些映射的不变量和逆不变量等问题还没有很好的答案。 本文正是在这样的前提下，对拓扑空间的弱基的“遗传性”和它在投影映射下的性质进行了研究和探索，主要结果如下：(1)弱基对k-子空间是遗传的； (2)弱基B对X的任意一个子空间“遗传”当且仅当对于任意x∈X，对于任意P∈Bx，x∈P°； (3)A是X的一个子空间，如果对于任意x∈A满足x∈A°或者对于任意Px∈Bx，x∈intA(Px∩A)，则弱基B对A“遗传”。 (4)A是X的一个子空间，x是A的一个非孤立点，如果存在P∈Bx满足P∩A={x}(等价于P∩A{x}是A中的一个闭集)，则B对A不“遗传”。 (5)设B=∪{Bx，y：x∈X，y∈Y}是乘积空间X×Y的一个弱基，则P=∪{Px,x∈X}，其中Px=∪y∈Y{p(B)：B∈Bx,y}，不一定是X的弱基。但是我们固定一个点y0∈Y，则P=∪Px，其中Px={p(B)：B∈Bx,y0}是X的弱基。